Nos exercícios 49 e 50, desenvolva:
49. (a+3 b)^3

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o cubo de um binômio, ou seja, expandir (a+3b)^3. O conteúdo que vamos usar é o Teorema Binomial, que fornece uma fórmula geral para elevar somas a potências inteiras.

Passo 2

O Teorema Binomial diz que, para todo inteiro n>=0 e quaisquer variáveis x e y,
(x+y)^n ;=; sumk=0^n binomnk,x^,n-k,y^,k
Aqui temos x=a, y=3b e n=3. Substituindo no teorema,
(a+3b)^3 ;=; sumk=0^3 binom3k,a^,3-k,(3b)^,k

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo desse somatório e simplificar:
Para k=0:
binom30,a^3,(3b)^0 = 1cdot a^3cdot1 = a^3
Para k=1:
binom31,a^2,(3b)^1 = 3cdot a^2cdot3b = 9a^2b
Para k=2:
binom32,a,(3b)^2 = 3cdot acdot9b^2 = 27ab^2
Para k=3:
binom33,(3b)^3 = 1cdot27b^3 = 27b^3

Passo 4

Somando todos os termos obtidos, encontramos a forma desenvolvida do cubo do binômio:

Resposta

(a+3b)^3 = a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3

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