Nos exercícios 51 a 58, verifique se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determine uma matriz P que diagonaliza A e obtenha P^{-1} A P. A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]
e pede: verificar se A é diagonalizável; caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e obter P^{-1}AP.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é uma matriz 3\times3 triangular superior com entradas diagonais 2,1,3.
O objetivo é (1) decidir se existe uma base formada por autovetores de A e (2) apresentar uma matriz P cujas colunas sejam autovetores de A e calcular P^{-1}AP.]
Passo 2
Vamos revisar (de forma prática) o que significa diagonalizar uma matriz e como testar isso, lembrando passo a passo:
Uma matriz A é diagonalizável se existe uma matriz invertível P tal que
P^{-1}AP=D,
onde D é diagonal. As colunas de P são autovetores de A e os elementos da diagonal de D são os autovalores correspondentes.
Um autovalor \lambda satisfaz \det(A-\lambda I)=0. O espaço próprio associado a \lambda é \ker(A-\lambda I); vetores não nulos desse espaço são autovetores.
Critério prático útil: se os autovalores distintos somam exatamente n (com multiplicidade geométrica adequada), ou simplesmente se houver n autovetores linearmente independentes, então A é diagonalizável. Um caso rápido: se uma matriz n\times n tem n autovalores distintos, ela é diagonalizável.
Vou aplicar isso ao caso concreto, explicando cada passo para você conseguir reproduzir numa prova.
Passo 3
Primeiro identifiquemos os autovalores. Como A é triangular superior, os autovalores são as entradas da diagonal. Portanto os autovalores são
Cada autovalor aparece uma vez na diagonal, então cada um tem multiplicidade algébrica 1. Como são três autovalores distintos (nenhuma repetição), já podemos concluir — pela regra dos autovalores distintos — que A é diagonalizável. Mesmo assim, para construir explicitamente P vamos encontrar os autovetores correspondentes (é o que o professor vai pedir).
Da terceira equação vem x_3=0\]. Substituindo na segunda: \(-x_2 -4\cdot 0=0\Rightarrow x_2=0. A primeira é satisfeita. Não há equação envolvendo x_1, então x_1 é livre. Assim os autovetores têm a forma
x = \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Escolhemos um autovetor conveniente para \lambda=2:
Verificação de independência linear dos autovetores e construção de P.
Temos três autovetores v_1,v_2,v_3 associados a três autovalores distintos. Vetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes, logo v_1,v_2,v_3 formam uma base de \mathbb{R}^3.
Montamos a matriz P cujas colunas são esses autovetores:
Como as colunas são linearmente independentes, P é invertível.]
Passo 8
Mostrando que P^{-1}AP é diagonal. Observação direta:
Para cada coluna v_i temos Av_1 = 2v_1, Av_2 = 1v_2, Av_3 = 3v_3 (isso pode ser verificado multiplicando A por cada vetor; já fizemos as equações que garantem isso).
Logo AP = P\begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&3\end{pmatrix}. Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos
Podemos também computar explicitamente P^{-1} (opcional, mas instrutivo). Como P é triangular superior com diagonais 1,1,1, sua inversa é também triangular superior. Resolviendo P P^{-1}=I obtemos