Seja f(x)=ln (x+2).
Ache uma fórmula para n-ésima derivada de f(x).

Passo 1

O enunciado pede para achar a fórmula da n-ésima derivada de f(x)=ln(x+2). O conteúdo principal é derivação de função logarítmica e regra da cadeia, e vamos precisar reconhecer o padrão das derivadas sucessivas para generalizar.

Passo 2

Começamos calculando as primeiras derivadas usando que d/dx[ln(u)]=u’ / u e d/dx[(x+2)k]=k(x+2){k-1}.
A primeira derivada é f’(x)=1/(x+2). A segunda é f’’(x)=−1·(x+2)^{−2}. A terceira é f’’’(x)=−1·(−2)(x+2){−3}=2(x+2){−3}. A quarta é 2·(−3)(x+2){−4}=−6(x+2){−4}.

Passo 3

Observamos que a cada derivada multiplicamos pelo expoente atual, que é negativo, e o sinal alterna. O denominador fica sempre (x+2) elevado a n, e o numerador envolve fatoriais.

Passo 4

Para provar que esse padrão vale para todo n≥1, usamos indução: suponha que f{(n)}(x)=C_n(x+2){−n}. Ao derivar, vem f{(n+1)}(x)=C_n·(−n)(x+2){−(n+1)}, o que mantém a forma com C_{n+1}=−nC_n. Como C_1=1 e a relação recursiva gera C_n=(−1)^{n-1}(n−1)!, o padrão está garantido.

Passo 5

Concluímos, portanto, que existe uma expressão geral para f^{(n)}(x) em termos de n, (n−1)! e potências de (x+2), com sinal alternado. Veja a fórmula exata na resposta final.

Resposta

f^(n)(x)=(-1)^n-1,(n-1)!,(x+2)^-n,\ para\ n\ge1.

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