Seja
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Ache uma fórmula para n-ésima derivada de
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Ache uma fórmula para n-ésima derivada de
Passo 1
O enunciado pede para achar a fórmula da n-ésima derivada de f(x)=ln(x+2). O conteúdo principal é derivação de função logarítmica e regra da cadeia, e vamos precisar reconhecer o padrão das derivadas sucessivas para generalizar.
Passo 2
Começamos calculando as primeiras derivadas usando que d/dx[ln(u)]=u’ / u e d/dx[(x+2)k]=k(x+2){k-1}.
A primeira derivada é f’(x)=1/(x+2). A segunda é f’’(x)=−1·(x+2)^{−2}. A terceira é f’’’(x)=−1·(−2)(x+2){−3}=2(x+2){−3}. A quarta é 2·(−3)(x+2){−4}=−6(x+2){−4}.
A primeira derivada é f’(x)=1/(x+2). A segunda é f’’(x)=−1·(x+2)^{−2}. A terceira é f’’’(x)=−1·(−2)(x+2){−3}=2(x+2){−3}. A quarta é 2·(−3)(x+2){−4}=−6(x+2){−4}.
Passo 3
Observamos que a cada derivada multiplicamos pelo expoente atual, que é negativo, e o sinal alterna. O denominador fica sempre (x+2) elevado a n, e o numerador envolve fatoriais.
Passo 4
Para provar que esse padrão vale para todo n≥1, usamos indução: suponha que f{(n)}(x)=C_n(x+2){−n}. Ao derivar, vem f{(n+1)}(x)=C_n·(−n)(x+2){−(n+1)}, o que mantém a forma com C_{n+1}=−nC_n. Como C_1=1 e a relação recursiva gera C_n=(−1)^{n-1}(n−1)!, o padrão está garantido.
Passo 5
Concluímos, portanto, que existe uma expressão geral para f^{(n)}(x) em termos de n, (n−1)! e potências de (x+2), com sinal alternado. Veja a fórmula exata na resposta final.