Seja f(x)=x^2-x.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,-1) e que é tangente ao gráfico de f.

Passo 1

Neste exercício vamos achar as retas tangentes ao gráfico de f(x)=x^2-x que passam pelo ponto (1,-1). Para isso vamos precisar usar derivada para encontrar o coeficiente angular da reta tangente e depois ajustar a reta para que passe pelo ponto dado.

Passo 2

A derivada de f é f'(x)=2x-1, que nos dá o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto x=a. A equação geral da reta tangente em x=a é
y - f(a) = f'(a)(x - a)

Passo 3

Para que essa reta passe em (1,-1), substituímos x=1, y=-1, f(a)=a^2-a e f'(a)=2a-1, obtendo
-1 - (a^2 - a) = (2a -1)(1 - a)
Desenvolvendo essa equação temos
-1 - a^2 + a = -2a^2 + 3a -1
que se rearranja para
a^2 - 2a = 0
e daí
a(a-2)=0 implies a=0 ou a=2

Passo 4

Para a=0: f'(0)=-1 e f(0)=0, logo a reta é
y = -x
Para a=2: f'(2)=3 e f(2)=2, então
y - 2 = 3(x-2)
que simplifica para
y = 3x - 4

Resposta

As retas tangentes ao gráfico de f que passam por (1,-1) são y = -x e y = 3x - 4.

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