Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções: integralraizx^x^3 raizt cos (t) d t
2
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
a) integral0^1 x^7+3 x d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro achar a derivada de
F(x)=integralraizx^x^3raiztcos(t),dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (mais precisamente a Regra de Leibniz para limites variáveis) e, em seguida, calcular a integral
integral0^1(x^7+3x),dx
Vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo e da técnica de antiderivação básica.

Passo 2

Para o primeiro item, aplicamos a Regra de Leibniz: se
F(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt,
então
$$
F’(x)=f\bigl(b(x)\bigr),b’(x)-f\bigl(a(x)\bigr),a’(x).
F'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x) f(t)=\sqrt{t}\cos(t),\quad a(x)=\sqrt{x},\quad b(x)=x^3.$$
Logo
f(t)=raiztcos(t), a(x)=raizx, b(x)=x^3

Passo 3

Substituindo tudo na fórmula de Leibniz dá
F'(x)=l(raizx^3cos(x^3)r)cdot(3x^2)-l(raizraizxcos(raizx)r)cdot12raizx
Agora note que raizx^3=x^3/2 e raizraizx=x^1/4.

Passo 4

Simplificando os expoentes, ficamos com
F'(x)=3x^2,x^3/2cos(x^3)-x^1/42x^1/2cos(raizx) =3x^7/2cos(x^3)-tfrac12x^-1/4cos(raizx)

Passo 5

Para o segundo item, basta achar uma antiderivada de x^7+3x. Uma primitiva é
$$G(x)=\frac{x8}{8}+\frac{3x2}{2}.
G(x)=x^88+3x^22 í\int_{0}{1}(x7+3x),dx=G(1)-G(0)=\bigl(\tfrac18+\tfrac32\bigr)-0=\frac{1}{8}+\frac{12}{8}=\frac{13}{8}.
$$

Resposta

F’(x)=3x{7/2}\cos(x3)-\tfrac12x^{-1/4}\cos(\sqrt{x}),
integral0^1(x^7+3x),dx=tfrac138

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