Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
2
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
a)
2
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro achar a derivada de
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (mais precisamente a Regra de Leibniz para limites variáveis) e, em seguida, calcular a integral
Vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo e da técnica de antiderivação básica.
Passo 2
Para o primeiro item, aplicamos a Regra de Leibniz: se
então
$$
F’(x)=f\bigl(b(x)\bigr),b’(x)-f\bigl(a(x)\bigr),a’(x).
Logo
Passo 3
Substituindo tudo na fórmula de Leibniz dá
Agora note que
e
.
Passo 4
Simplificando os expoentes, ficamos com
Passo 5
Para o segundo item, basta achar uma antiderivada de
. Uma primitiva é
$$G(x)=\frac{x8}{8}+\frac{3x2}{2}.
$$
Resposta
F’(x)=3x{7/2}\cos(x3)-\tfrac12x^{-1/4}\cos(\sqrt{x}),