Nos exercícios 63 a 68 , identifique alpha valores máximos e mínimos e as raízes da função no intervalo [-2 pi, 2 pi].
y=12 sen x

Passo 1

O enunciado pede para a gente identificar os valores máximos, os valores mínimos e as raízes da função y=tfrac12sin x no intervalo [-2pi,2pi]. O conteúdo aqui é estudo de funções trigonométricas: amplitude, período, posição de máximos, mínimos e zeros, usando as propriedades básicas da função seno.

Passo 2

Para começar, lembre que a função y=tfrac12sin x é apenas a função sin x comprimida verticalmente por um fator 2. Isso significa que a amplitude é tfrac12 e o valor de sin x varia entre -1 e 1. Portanto, o alcance (range) de y é
-tfrac12 <= y <= tfrac12
e daí já sabemos que o valor máximo de y é tfrac12 e o mínimo é -tfrac12.

Passo 3

Agora precisamos achar em quais pontos de [-2pi,2pi] a função atinge esses extremos. A teoria diz que
sin x = 1 quando x = tfracpi2 + 2pi k,
sin x = -1 quando x = tfrac3pi2 + 2pi k,
para qualquer inteiro k. Aí é só escolher os k que deixam x dentro de [-2pi,2pi].

Passo 4

Para os máximos ( sin x=1) temos
x = tfracpi2 + 2pi k in [-2pi,2pi]
Testando valores de k:
  • Se k=-1, x = tfracpi2-2pi = -tfrac3pi2, que está em [-2pi,2pi].
  • Se k=0, x=tfracpi2.
  • Se k=1, x=tfrac5pi2 que é maior que 2pi, fora do intervalo.
    Portanto os pontos de máximo são x=-tfrac3pi2 e x=tfracpi2, ambos com y=tfrac12.

Passo 5

Para os mínimos ( sin x=-1) fazemos o mesmo:
x = tfrac3pi2 + 2pi k in [-2pi,2pi]
Testando k:
  • Se k=-1, x=tfrac3pi2-2pi = -tfracpi2.
  • Se k=0, x=tfrac3pi2.
  • Se k=1, fica fora do intervalo.
    Logo os mínimos são em x=-tfracpi2 e x=tfrac3pi2, com y=-tfrac12.

Passo 6

Por fim, as raízes ocorrem quando sin x=0, ou seja
x = kpi, kin Z
Precisamos dos k que dão xin[-2pi,2pi]. São
x = -2pi, -pi, 0, pi, 2pi

Resposta

Valores máximos: em x=-tfrac3pi2,,tfracpi2, com ymax=tfrac12. Valores mínimos: em x=-tfracpi2,,tfrac3pi2, com ymin=-tfrac12. Raízes: x=-2pi,-pi,0,pi,2pi.

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