Nos exercícios 63 a 68 , identifique alpha valores máximos e mínimos e as raízes da função no intervalo [-2 pi, 2 pi].
y=3 cos x2

Passo 1

Temos a função y = 3cosx2 definida no intervalo [-2pi,2pi]. O conteúdo envolve análise de funções trigonométricas: amplitude, período, máximos, mínimos e raízes. Para resolver, vamos precisar do conceito de amplitude, da fórmula do período e de como achar onde costheta = pm1 e costheta = 0.

Passo 2

A amplitude A de y= Acos(bx) é |A|. Aqui A=3, então a amplitude é 3. O período T de y=cos(bx) satisfaz bT = 2pi. Como no nosso caso b = tfrac12,
T = 2pi|tfrac12| = 4pi

Passo 3

Agora, para achar os extremos, lembramos que costheta = 1 dá máximos e costheta = -1 dá mínimos. No nosso caso theta = tfracx2.

Passo 4

Para máximos:
cosx2 = 1 implies x2 = 2kpi implies x = 4kpi

Passo 5

No intervalo [-2pi,2pi] só cabe x=0 (quando k=0). Logo o único ponto de máximo é x=0 e o valor máximo é y=3.

Passo 6

Para mínimos:
cosx2 = -1 implies x2 = (2k+1)pi implies x = (2k+1)2pi

Passo 7

No intervalo dado, temos x=-2pi (para k=-1) e x=2pi (para k=0). Nesses pontos y=-3.

Passo 8

Para achar as raízes, resolvemos y=0:
cosx2 = 0 implies x2 = pi2 + kpi implies x = pi + 2kpi

Passo 9

No intervalo [-2pi,2pi] isso ocorre em x=-pi (para k=-1) e x=pi (para k=0).

Resposta

Valores máximos: ymax=3 em x=0. Valores mínimos: ymin=-3 em x=-2pi e x=2pi. Raízes: x=-pi e x=pi.

Exercícios relacionados