Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=\frac{1}{2} \ln \left(7 x^{2}-4\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1}{2}\ln\!\left(7x^{2}-4\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x) está acima.
  • Para que f(x) esteja definida é necessário que 7x^{2}-4>0 (porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos). Isso implica que o domínio de f é \{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}>\tfrac{4}{7}\}, ou seja x<-\tfrac{2}{\sqrt{7}} ou x>\tfrac{2}{\sqrt{7}}.
  • O que se quer é f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática):
  • A derivada do logaritmo natural composta com uma função u(x) é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\!\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é qualquer função diferenciável com valores positivos; u'(x) é a derivada de u em relação a x. Intuição rápida: o log cresce como a função interna, e a taxa de variação do log é a taxa de variação da interna dividida pelo próprio valor da interna.
Também usaremos a regra do fator constante:
  • Se c é constante, \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).

Passo 3

Identificar a parte interna e calcular sua derivada:
  • Defina u(x)=7x^{2}-4. Então o interior do log é u(x).
  • Aplicando a regra da potência (ou regra do polinômio): a derivada de x^{2} é 2x, logo
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(7x^{2}-4\big)=7\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)-\frac{d}{dx}(4)=7\cdot(2x)-0=14x.
Explicando devagar: o coeficiente 7 sai multiplicando e a constante -4 some porque derivada de constante é zero.

Passo 4

Aplicar a regra do log combinado com o fator constante:
  • Temos f(x)=\dfrac{1}{2}\ln\!\big(u(x)\big). Pela regra do fator constante e pela derivada do log,
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Substituindo u(x)=7x^{2}-4 e u'(x)=14x, obtemos
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{14x}{7x^{2}-4}.
Aqui parei antes de escrever a forma totalmente simplificada; fiz a multiplicação do fator constante por dentro da fração.

Passo 5

Simplificação algébrica (como fazer rapidamente na prova):
  • Multiplica-se o numerador pelo fator \tfrac{1}{2}: \tfrac{1}{2}\cdot 14x = 7x.
  • Portanto a expressão simplificada para a derivada é a fração com numerador 7x e denominador 7x^{2}-4.
  • Lembre-se de que essa derivada só faz sentido nos mesmos x em que a função está definida, ou seja para x<-\tfrac{2}{\sqrt{7}} ou x>\tfrac{2}{\sqrt{7}}.

Passo 6

Dica prática e exemplo curto para fixar:
  • Padrão útil: se tiver f(x)=C\ln(g(x)), então f'(x)=C\frac{g'(x)}{g(x)}. Decore isso; em prova economiza tempo.
  • Exemplo rápido: para h(x)=\tfrac{3}{2}\ln(5x^{2}+1), faria h'(x)=\tfrac{3}{2}\cdot\frac{10x}{5x^{2}+1}=\frac{15x}{5x^{2}+1}.

Resposta

\dfrac{7x}{7x^{2}-4}

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