Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
está acima. - Para que
esteja definida é necessário que (porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos). Isso implica que o domínio de é , ou seja ou . - O que se quer é
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática):
- A derivada do logaritmo natural composta com uma função
é dada pela regra da cadeia:
Aqui
é qualquer função diferenciável com valores positivos;
é a derivada de
em relação a
. Intuição rápida: o log cresce como a função interna, e a taxa de variação do log é a taxa de variação da interna dividida pelo próprio valor da interna.
Também usaremos a regra do fator constante:
- Se
é constante, .
Passo 3
Identificar a parte interna e calcular sua derivada:
- Defina
. Então o interior do log é . - Aplicando a regra da potência (ou regra do polinômio): a derivada de
é , logo
Explicando devagar: o coeficiente
sai multiplicando e a constante
some porque derivada de constante é zero.
Passo 4
Aplicar a regra do log combinado com o fator constante:
- Temos
. Pela regra do fator constante e pela derivada do log,
- Substituindo
e , obtemos
Aqui parei antes de escrever a forma totalmente simplificada; fiz a multiplicação do fator constante por dentro da fração.
Passo 5
Simplificação algébrica (como fazer rapidamente na prova):
- Multiplica-se o numerador pelo fator
: . - Portanto a expressão simplificada para a derivada é a fração com numerador
e denominador . - Lembre-se de que essa derivada só faz sentido nos mesmos
em que a função está definida, ou seja para ou .
Passo 6
Dica prática e exemplo curto para fixar:
- Padrão útil: se tiver
, então . Decore isso; em prova economiza tempo. - Exemplo rápido: para
, faria .