Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações importantes que o enunciado fornece:
Informações importantes que o enunciado fornece:
- A função é
. - A expressão
impõe que a função só está definida para . - O objetivo: encontrar
(a derivada) onde fizer sentido. A resolução começará nos próximos passos.
Passo 2
Estratégia e fórmula útil (aulas rápidas): quando uma função tem a forma
com base positiva
e expoente
, a maneira mais prática é usar diferenciação logarítmica. O procedimento padrão é:
- Tomar logaritmo natural dos dois lados:
. - Diferenciar implicitamente: como
(essa é a regra da cadeia: derivada de é argumento vezes derivada da argumento), temos
usando a regra do produto no lado direito.
3. Finalmente, isola-se :
.
3. Finalmente, isola-se
Essa fórmula é muito prática e evita manipular potências com expoentes variáveis diretamente.
Passo 3
Aplicando a receita ao nosso caso. Defino
,
e
. Primeiro escrevo o logaritmo:
Agora preciso das derivadas de
e de
.
- Derivada de
:
Explicação curta: para
, a derivada é
; aqui
.
- Derivada de
com :
usar a regra da cadeia:.
Calculo: como , a derivada de é (regra da cadeia) ; a constante some. Então
Portanto
Passo 4
Usando a fórmula da diferenciação logarítmica:
Substituo
,
,
,
que calculei:
Agora multiplico ambos os lados por
para isolar
. Lembrando que
, obtenho
Passo 5
Faço uma simplificação leve do segundo termo dentro dos parênteses:
. Assim uma forma mais compacta é
Observação sobre domínio e diferenciabilidade: a expressão acima foi obtida assumindo
(para poder usar
). A função está definida em
(já que
e
), mas o termo
tende a
quando
(porque
e
diverge), então
não é diferenciável em
. Portanto a derivada encontrada vale para
.
Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar em questões parecidas (qualquer
): só lembrar do ln e aplicar produto/ cadeia.