Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=\left(e^{x^{2}}+4\right)^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(e^{x^{2}}+4\right)^{\sqrt{x}}.
Informações importantes que o enunciado fornece:
  • A função é f(x)=\big(e^{x^{2}}+4\big)^{\sqrt{x}}.
  • A expressão \sqrt{x} impõe que a função só está definida para x\ge 0.
  • O objetivo: encontrar f'(x) (a derivada) onde fizer sentido. A resolução começará nos próximos passos.

Passo 2

Estratégia e fórmula útil (aulas rápidas): quando uma função tem a forma y=g(x)^{h(x)} com base positiva g(x)>0 e expoente h(x), a maneira mais prática é usar diferenciação logarítmica. O procedimento padrão é:
  1. Tomar logaritmo natural dos dois lados: \ln y = h(x)\,\ln g(x).
  2. Diferenciar implicitamente: como \frac{d}{dx}\ln y = \frac{y'}{y} (essa é a regra da cadeia: derivada de \ln é 1/argumento vezes derivada da argumento), temos
\frac{y'}{y} = h'(x)\ln g(x) + h(x)\,\frac{g'(x)}{g(x)},
usando a regra do produto no lado direito.
3. Finalmente, isola-se y': y' = y \big(h'(x)\ln g(x) + h(x)\dfrac{g'(x)}{g(x)}\big).
Essa fórmula é muito prática e evita manipular potências com expoentes variáveis diretamente.

Passo 3

Aplicando a receita ao nosso caso. Defino y=f(x), g(x)=e^{x^{2}}+4 e h(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. Primeiro escrevo o logaritmo:
\ln f(x)=\sqrt{x}\,\ln\big(e^{x^{2}}+4\big).
Agora preciso das derivadas de h(x) e de \ln g(x).
  • Derivada de h(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}:
h'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Explicação curta: para x^{a}, a derivada é a x^{a-1}; aqui a=\tfrac12.
  • Derivada de \ln g(x) com g(x)=e^{x^{2}}+4:
    usar a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\ln g(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}.
    Calculo g'(x): como g(x)=e^{x^{2}}+4, a derivada de e^{x^{2}} é (regra da cadeia) 2x e^{x^{2}}; a constante 4 some. Então
g'(x)=2x e^{x^{2}}.
Portanto
\frac{d}{dx}\ln\big(e^{x^{2}}+4\big)=\frac{2x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}+4}.

Passo 4

Usando a fórmula da diferenciação logarítmica:
\frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x)\,\ln g(x) + h(x)\,\frac{g'(x)}{g(x)}.
Substituo h'(x), h(x), g'(x), g(x) que calculei:
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\ln\big(e^{x^{2}}+4\big) + \sqrt{x}\,\frac{2x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}+4}.
Agora multiplico ambos os lados por f(x) para isolar f'(x). Lembrando que f(x)=\big(e^{x^{2}}+4\big)^{\sqrt{x}}, obtenho
f'(x)=\big(e^{x^{2}}+4\big)^{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln\big(e^{x^{2}}+4\big) + \sqrt{x}\,\frac{2x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}+4}\right).

Passo 5

Faço uma simplificação leve do segundo termo dentro dos parênteses: \sqrt{x}\cdot 2x = 2x^{3/2}. Assim uma forma mais compacta é
f'(x)=\big(e^{x^{2}}+4\big)^{\sqrt{x}}\left(\frac{\ln\big(e^{x^{2}}+4\big)}{2\sqrt{x}} + \frac{2x^{3/2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}+4}\right).
Observação sobre domínio e diferenciabilidade: a expressão acima foi obtida assumindo x>0 (para poder usar \frac{1}{\sqrt{x}}). A função está definida em x=0 (já que \sqrt{0}=0 e f(0)=1), mas o termo \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ln\big(e^{x^{2}}+4\big) tende a +\infty quando x\to 0^{+} (porque \ln(e^{0}+4)=\ln 5\neq 0 e 1/\sqrt{x} diverge), então f não é diferenciável em x=0. Portanto a derivada encontrada vale para x>0.
Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar em questões parecidas (qualquer g(x)^{h(x)}): só lembrar do ln e aplicar produto/ cadeia.

Resposta

f'(x)=\big(e^{x^{2}}+4\big)^{\sqrt{x}}\left(\dfrac{\ln\big(e^{x^{2}}+4\big)}{2\sqrt{x}}+\dfrac{2x^{3/2}e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}+4}\right)

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