Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- Função:
. - Objetivo: encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Estratégia geral (sem ainda calcular): esta função é uma composição de funções — é uma potência de seno de uma expressão quadrática. Quando temos uma composição, usamos a regra da cadeia (chain rule). Vou explicar a regra da cadeia de forma simples e com todos os termos bem definidos.
Regra da cadeia (em linguagem concreta): se
, então
Aqui:
-
é a função interna (a que entra em ); -
é a função externa; -
é a derivada de em relação à sua variável; depois substitui-se no lugar dessa variável; - multiplica-se pelo
, a derivada da função interna.
Exemplo curto para fixar: se
, pense em três camadas:
,
,
. Deriva-se de fora para dentro e multiplica-se:
e então substitui
,
.
Passo 3
Aplicando a decomposição à nossa função: defina as funções intermediárias
Assim
.
Primeiro passo da cadeia (derivada da função externa): para
vale
Usando a regra da cadeia, a contribuição externa será
multiplicada pela derivada da camada seguinte
.
Passo 4
Agora derivar
. A derivada de
em relação a
é
. Assim
Pela regra da cadeia completa, precisamos também da derivada de
. Calcule
:
Derivando termo a termo (regra:
e
):
Passo 5
Agora juntamos tudo (multiplicando as derivadas conforme a regra da cadeia em camadas):
- derivada da camada externa:
com vira ; - multiplicar por
; - multiplicar por
.
Portanto, a expressão da derivada é
onde
.
Simplificando fatores:
e
, obtemos a forma mais simples
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (resumindo a técnica): quando vir algo do tipo
pense em três passos: (1) derivar a potência:
; (2) derivar o seno:
; (3) derivar
. Multiplica tudo. Isso evita erros e é rápido de aplicar — pratique com
,
etc.