Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=\operatorname{sen}^{3}\left(3 x^{2}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • Função: f(x)=\operatorname{sen}^{3}\!\left(3x^{2}+6x\right).
  • Objetivo: encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Estratégia geral (sem ainda calcular): esta função é uma composição de funções — é uma potência de seno de uma expressão quadrática. Quando temos uma composição, usamos a regra da cadeia (chain rule). Vou explicar a regra da cadeia de forma simples e com todos os termos bem definidos.
Regra da cadeia (em linguagem concreta): se F(x)=H(G(x)), então
F'(x)=H'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Aqui:
  • G(x) é a função interna (a que entra em H);
  • H é a função externa;
  • H' é a derivada de H em relação à sua variável; depois substitui-se G(x) no lugar dessa variável;
  • multiplica-se pelo G'(x), a derivada da função interna.
Exemplo curto para fixar: se F(x)=(\sin(x^2))^3, pense em três camadas: u(x)=x^2, v(u)=\sin(u), H(v)=v^3. Deriva-se de fora para dentro e multiplica-se: F'(x)=3v^2\cdot \cos(u)\cdot 2x e então substitui v=\sin(x^2), u=x^2.

Passo 3

Aplicando a decomposição à nossa função: defina as funções intermediárias
u(x)=3x^{2}+6x, \qquad v(u)=\sin(u), \qquad H(v)=v^{3}.
Assim f(x)=H\big(v(u(x))\big)=\big(\sin(u(x))\big)^{3}.
Primeiro passo da cadeia (derivada da função externa): para H(v)=v^{3} vale
H'(v)=3v^{2}.
Usando a regra da cadeia, a contribuição externa será 3\big(v(u(x))\big)^{2} multiplicada pela derivada da camada seguinte v'(u(x)).

Passo 4

Agora derivar v(u)=\sin(u). A derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u). Assim
v'(u)=\cos(u).
Pela regra da cadeia completa, precisamos também da derivada de u(x). Calcule u'(x):
u(x)=3x^{2}+6x.
Derivando termo a termo (regra: \dfrac{d}{dx}(ax^{2})=2ax e \dfrac{d}{dx}(bx)=b):
u'(x)=3\cdot 2x + 6 = 6x+6.

Passo 5

Agora juntamos tudo (multiplicando as derivadas conforme a regra da cadeia em camadas):
  • derivada da camada externa: 3v^{2} com v=\sin(u(x)) vira 3\sin^{2}\big(u(x)\big);
  • multiplicar por v'(u)=\cos(u(x));
  • multiplicar por u'(x)=6x+6.
Portanto, a expressão da derivada é
f'(x)=3\sin^{2}\big(u(x)\big)\cdot \cos\big(u(x)\big)\cdot (6x+6),
onde u(x)=3x^{2}+6x.
Simplificando fatores: 6x+6=6(x+1) e 3\cdot 6=18, obtemos a forma mais simples
f'(x)=18(x+1)\sin^{2}\!\big(3x^{2}+6x\big)\cos\!\big(3x^{2}+6x\big).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (resumindo a técnica): quando vir algo do tipo \operatorname{sen}^{n}(g(x)) pense em três passos: (1) derivar a potência: n\operatorname{sen}^{n-1}(g(x)); (2) derivar o seno: \cos(g(x)); (3) derivar g(x). Multiplica tudo. Isso evita erros e é rápido de aplicar — pratique com \operatorname{sen}^{4}(5x), \operatorname{cos}^{3}(x^2) etc.

Resposta

f'(x)=18(x+1)\sin^{2}\!\big(3x^{2}+6x\big)\cos\!\big(3x^{2}+6x\big)

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