Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(t)=\left(4 t^{2}-5 t+2\right)^{-1 / 3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a derivada da função
f(t)=\left(4 t^{2}-5 t+2\right)^{-1/3}.
Informações dadas:
  • A função é definida por f(t)=(4t^{2}-5t+2)^{-1/3}.
  • O objetivo é encontrar f'(t), a derivada de f em relação a t.

Passo 2

Plano de resolução (sem calcular ainda): vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência. Para organizar, definimos a função interna (ou “substituição”)
u(t)=4t^{2}-5t+2,
então f(t)=u(t)^{-1/3}. A regra da cadeia diz que a derivada de uma composição g(u(t)) é
\frac{d}{dt}g(u(t))=g'(u(t))\cdot u'(t).
Aqui g(x)=x^{-1/3}. Também usaremos a regra da potência: se g(x)=x^{n} com n real, então
g'(x)=n x^{n-1}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Derivada do interior u(t). Como u(t)=4t^{2}-5t+2, usamos a regra para polinômios (derivada de a t^{k} é a k t^{k-1}, e a derivada de constante é 0):
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(4t^{2}\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(5t\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(2\bigr) =4\cdot 2 t - 5\cdot 1 + 0 = 8t-5.
Portanto u'(t)=8t-5.

Passo 4

Derivada da função externa g(x)=x^{-1/3} usando a regra da potência com n=-\tfrac{1}{3}:
g'(x)= -\frac{1}{3} x^{-1/3-1}= -\frac{1}{3} x^{-4/3}.
Agora aplicamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}f(t)=g'(u(t))\cdot u'(t). Substituindo g'(x) e u(t) e u'(t),
f'(t)= -\frac{1}{3}\bigl(u(t)\bigr)^{-4/3}\cdot (8t-5).

Passo 5

Substituindo u(t)=4t^{2}-5t+2 na expressão acima e fazendo uma pequena reorganização para ficar numa forma usual (colocando o denominador com expoente positivo):
f'(t)= -\frac{1}{3}\bigl(4t^{2}-5t+2\bigr)^{-4/3}(8t-5).
Escrever com expoente negativo no numerador é equivalente a colocá-lo no denominador com expoente positivo:
f'(t)= -\frac{8t-5}{3\bigl(4t^{2}-5t+2\bigr)^{4/3}}.
Podemos também mudar o sinal no numerador para apresentar de forma alternativa:
f'(t)=\frac{5-8t}{3\bigl(4t^{2}-5t+2\bigr)^{4/3}}.

Resposta

-\dfrac{8t-5}{3\bigl(4t^{2}-5t+2\bigr)^{4/3}}

Exercícios relacionados