Nos exercícios abaixo, calcule os momentos de inércia Ix e Iy de uma lâmina D no plano x y limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso, f(x, y) denota a densidade num ponto (x, y) de D.
14.5) y=raiz2 x, y=0,0 <= x <= 2 ; f(x, y)=|x-y|.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a região D é dada por
0<= x<= 2, 0<= y<= raiz2x,
e a densidade é f(x,y)=|x-y|. Queremos os momentos de inércia
Ix=integral duplaD y^2,f(x,y),dA, Iy=integral duplaD x^2,f(x,y),dA

Passo 2

Para avaliar essas integrais precisamos tratar o módulo. Como em D temos sempre x>=0 e y>=0, a reta y=x corta verticalmente a região. Para cada xin[0,2]:
  • em 0<= y<= x, temos x-y>=0 e |x-y|=x-y;
  • em x<= y<= raiz2x, temos x-y<=0 e |x-y|=y-x.
    Logo dividimos as integrais em duas partes em y.

Passo 3

Cálculo de Ix:
Ix=integral0^2l(integral0^xy^2(x-y),dy+integralx^raiz2xy^2(y-x),dyr)dx
Na primeira parte:
integral0^xy^2(x-y),dy=xintegral0^xy^2,dy-integral0^xy^3,dy=x^43-x^44=x^412
Na segunda:
integralx^raiz2x(y^3-xy^2),dy =l[y^44-x y^33r]y=x^y=raiz2x =x^2-2raiz23x^5/2+x^412
Somando e integrando em x:
Ix=integral0^2l(x^2+x^46-2raiz23x^5/2r)dx =2435

Passo 4

Cálculo de Iy: de modo análogo,
Iy=integral0^2l(integral0^xx^2(x-y),dy+integralx^raiz2xx^2(y-x),dyr)dx
Fazendo as contas obtém-se
Iy=integral0^2l(x^3+x^4-raiz2,x^7/2r)dx =14845

Resposta

I_x=24/35, \quad I_y=148/45

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