Nos exercícios abaixo, calcule os momentos de inércia
e
de uma lâmina
no plano
limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso,
denota a densidade num ponto
de
.
14.5)
.
14.5)
Passo 1
Resumindo o enunciado: a região D é dada por
e a densidade é
. Queremos os momentos de inércia
Passo 2
Para avaliar essas integrais precisamos tratar o módulo. Como em D temos sempre
e
, a reta
corta verticalmente a região. Para cada
:
- em
, temos e ; - em
, temos e .
Logo dividimos as integrais em duas partes em.
Passo 3
Cálculo de
:
Na primeira parte:
Na segunda:
Somando e integrando em
:
Passo 4
Cálculo de
: de modo análogo,
Fazendo as contas obtém-se
Resposta
I_x=24/35, \quad I_y=148/45