Nos exercícios abaixo, suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y. Calcule a massa m e as coordenadas (barx, bary) do centro de massa D.
13.3) D é a região triangular de vértices (0,0),(3,0) e (3,5) e a densidade f em cada ponto P=(x, y) in D é igual à distância de P ao eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina de densidade variável.
Conteúdo: momento e centro de massa de uma lâmina no plano.
Região D: triângulo de vértices (0,0), (3,0) e (3,5).
Densidade: em cada ponto P=(x,y), f(x,y)=distância ao eixo y, ou seja f(x,y)=x.

Passo 2

A massa m da lâmina é dada por
m=integral duplaD f(x,y),dA
Como D={0\le x\le3,,0\le y\le(5/3)x} e f(x,y)=x, temos
m=integralx=0^3integraly=0^(5/3)x x,dy,dx =integral0^3 xl[(5/3)xr]dx =53integral0^3 x^2,dx =53cdot3^33=15

Passo 3

Para calcular barx usamos
My=integral duplaD x,f(x,y),dA=integral duplaD x^2,dA, barx=Mym
Assim,
My=integral0^3integral0^(5/3)x x^2,dy,dx =integral0^3 x^2cdot53x,dx =53integral0^3 x^3,dx =53cdot3^44=1354
Logo
barx=135/415=94

Passo 4

Para calcular bary usamos
Mx=integral duplaD y,f(x,y),dA=integral duplaD x y,dA, bary=Mxm
Assim,
Mx=integral0^3integral0^(5/3)x x y,dy,dx =integral0^3 xcdotl((5/3)xr)^22,dx =2518integral0^3 x^3,dx =2518cdot3^44=758
Logo
bary=75/815=58

Resposta

m=15 e (\bar{x},\bar{y})=(9/4,,5/8)

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