Nos exercícios abaixo, calcule os momentos de inércia Ix e Iy de uma lâmina D no plano x y limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso, f(x, y) denota a densidade num ponto (x, y) de D.
14.4) x y=1, x y=2, x=2 y, y=2 x, x>0, y>0 ; f(x, y)=1.

Passo 1

O exercício pede para calcular os momentos de inércia I_x e I_y de uma lâmina uniforme (densidade f(x,y)=1) no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles xy=1, xy=2 e pelas retas x=2y, y=2x. Vamos usar matéria de integração dupla para momentos de inércia e mudança de variáveis para simplificar a região.

Passo 2

Para parametrizar a região, introduzimos as variáveis u=xy e v=y/x. Nesse caso as curvas u=1 e u=2 correspondem às hipérboles e as retas x=2y (v=½) e y=2x (v=2) viram constantes de v. Invertendo, temos
x=raizu/v, y=raizu,v

Passo 3

Calculemos o jacobiano da transformação (u,v)↦(x,y). As derivadas são
partial(x,y)partial(u,v)=x2u&-x2v[6pt]y2u&y2v=xy2uv=12v, pois xy=u. Assim o elemento de área é dA= 12vdu dv.

Passo 4

Para I_x fazemos
Ix=integral duplaD y^2,dA=integralv=1/2^2!integralu=1^2y^212v,du,dv Como y^2=uv, o integrando vira u/2. Logo
Ix=integral1/2^2!integral1^2u2,du,dv=l(integral1/2^2dvr)l(integral1^2u2,dur)=32cdot34=98

Passo 5

Analogamente para I_y temos
Iy=integral duplaD x^2,dA=integral1/2^2!integral1^2x^212v,du,dv, x^2=uv, que leva a
Iy=integral1/2^2!integral1^2u2v^2,du,dv=l(integral1^2u,dur)l(integral1/2^212v^2,dvr)=32cdot34=98

Resposta

I_x=9/8\quad e\quad I_y=9/8

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