Nos exercícios abaixo, calcule os momentos de inércia
e
de uma lâmina
no plano
limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso,
denota a densidade num ponto
de
.
14.4)
.
14.4)
Passo 1
O exercício pede para calcular os momentos de inércia I_x e I_y de uma lâmina uniforme (densidade f(x,y)=1) no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles xy=1, xy=2 e pelas retas x=2y, y=2x. Vamos usar matéria de integração dupla para momentos de inércia e mudança de variáveis para simplificar a região.
Passo 2
Para parametrizar a região, introduzimos as variáveis u=xy e v=y/x. Nesse caso as curvas u=1 e u=2 correspondem às hipérboles e as retas x=2y (v=½) e y=2x (v=2) viram constantes de v. Invertendo, temos
Passo 3
Calculemos o jacobiano da transformação (u,v)↦(x,y). As derivadas são
Passo 4
Para I_x fazemos
Passo 5
Analogamente para I_y temos
Resposta
I_x=9/8\quad e\quad I_y=9/8