Nos exercícios abaixo, suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y. Calcule a massa m e as coordenadas (barx, bary) do centro de massa D.
13.2) D=(x, y) in R^2 ;-3 <= x <= 3,-3 <= y <= raiz9-x^2 ; f(x, y)=y+3.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região D definida por –3≤x≤3 e –3≤y≤√(9–x²), com densidade f(x,y)=y+3. Vamos usar integrais duplas para calcular a massa m e os momentos para encontrar bar x e bar y.

Passo 2

Para calcular a massa configuramos a integral dupla
m=integralx=-3^3integraly=-3^raiz9-x^2(y+3),dy,dx
Fazendo primeiro a integral em y,
integral-3^raiz9-x^2(y+3),dy =[tfracy^22+3y]y=-3^y=raiz9-x^2 =tfrac18-x^22+3raiz9-x^2

Passo 3

Agora a massa fica
[
m=\int_{-3}3\Bigl(\tfrac{18-x2}{2}+3\sqrt{9-x^2}\Bigr)dx
=\tfrac12\int_{-3}3(18-x2)dx+3\int_{-3}3\sqrt{9-x2},dx
=45+\tfrac{27\pi}{2}
=\frac{9(10+3\pi)}{2}.

Passo 4

Pela simetria da região em x e do integrando x·f(x,y) ser função ímpar de x, obtemos imediatamente
bar x=0

Passo 5

Para calcular bar y montamos o momento em y
My=integral duplaD y,f(x,y),dA =integral-3^3integral-3^raiz9-x^2(y^2+3y),dy,dx
A integral interna é
integral-3^raiz9-x^2(y^2+3y),dy =[tfracy^33+tfrac3y^22]-3^raiz9-x^2 =tfrac(9-x^2)^3/23+tfrac3(9-x^2)2-tfrac92
Logo,
My=integral-3^3l(tfrac(9-x^2)^3/23+tfrac3(9-x^2)2-tfrac92r)dx =27(8+3pi)8
Assim
bar y=Mym=3(8+3pi)4(10+3pi)

Resposta

m=tfrac9(10+3pi)2, bar x=0, bar y=tfrac3(8+3pi)4(10+3pi)

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