Nos exercícios abaixo, suponha que uma lâmina com densidade
ocupe a região
do plano
. Calcule a massa
e as coordenadas
do centro de massa
.
13.2)
.
13.2)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região D definida por –3≤x≤3 e –3≤y≤√(9–x²), com densidade f(x,y)=y+3. Vamos usar integrais duplas para calcular a massa m e os momentos para encontrar
e
.
Passo 2
Para calcular a massa configuramos a integral dupla
Fazendo primeiro a integral em y,
Passo 3
Agora a massa fica
[
m=\int_{-3}3\Bigl(\tfrac{18-x2}{2}+3\sqrt{9-x^2}\Bigr)dx
=\tfrac12\int_{-3}3(18-x2)dx+3\int_{-3}3\sqrt{9-x2},dx
=45+\tfrac{27\pi}{2}
=\frac{9(10+3\pi)}{2}.
m=\int_{-3}3\Bigl(\tfrac{18-x2}{2}+3\sqrt{9-x^2}\Bigr)dx
=\tfrac12\int_{-3}3(18-x2)dx+3\int_{-3}3\sqrt{9-x2},dx
=45+\tfrac{27\pi}{2}
=\frac{9(10+3\pi)}{2}.
Passo 4
Pela simetria da região em x e do integrando x·f(x,y) ser função ímpar de x, obtemos imediatamente
Passo 5
Para calcular
montamos o momento em y
A integral interna é
Logo,
Assim