Nos exercícios abaixo, considere fixado um sistema de coordenadas ortogonal
\Sigma=(O, C)
do espaço
\mathbb{R}^{3}
. Isto é, um ponto
P \in \mathbb{R}^{3}
é representado por uma terna
P=(x, y, z)
, significando que
P=O+(x, y, z)_{\mathcal{C}}
, onde “+” denota a soma de ponto com vetor e
\mathcal{C}
é a base canônica de
V^{3}
(base ortonormal positivamente orientada). As equações de retas são dadas em relação a este sistema.
Mostre que duas retas são perpendiculares se, e somente se, seus vetores diretores têm produto escalar nulo.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência entre duas afirmações sobre retas no espaço \mathbb{R}^3:
  • Afirmação A: “duas retas são perpendiculares” (no sentido geométrico usual);
  • Afirmação B: “os vetores diretores dessas retas têm produto escalar nulo”.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo relativo ao sistema ortonormal fixado \Sigma=(O,\mathcal{C})):
  • Uma reta r pode ser escrita em forma paramétrica como r:\; X = A + t\,u, onde A é um ponto da reta, u é um vetor diretor não nulo e t\in\mathbb{R}.
  • Outra reta s pode ser escrita como s:\; X = B + s\,v, onde B é um ponto da reta s, v é um vetor diretor não nulo e s\in\mathbb{R}.
  • O produto escalar (ou produto interno Euclidiano) entre vetores em \mathbb{R}^3 será usado; suas propriedades serão explicadas adiante.
Observação importante que vou manter explícita ao longo da prova: em \mathbb{R}^3 é necessário que as retas se intersectem para que possamos chamá-las de “perpendiculares” (duas retas não intersectantes, mesmo com vetores diretores ortogonais, são retas “retilíneas concorrentes?” não — são retas “reversas” ou “espaçadas” chamadas de retas reversas/ “skew”; essas não são perpendicular no sentido geométrico que envolve ângulo). Portanto, a equivalência que vou demonstrar assume que as retas se intersectam (vou explicitar esse ponto quando for necessário).

Passo 2

Definição e propriedades básicas que vamos precisar (explicadas passo a passo, sem pressupor que já saiba tudo):
  1. Definição de produto escalar em coordenadas. Dados dois vetores
u=(u_1,u_2,u_3),\qquad v=(v_1,v_2,v_3),
em uma base ortonormal, o produto escalar é
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Isto é uma soma de produtos de componentes — fácil de calcular na prova sem sofrimento.
  1. Norma (comprimento) de um vetor. A norma de u é
\|u\| = \sqrt{u\cdot u} = \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
É a distância do vetor à origem.
  1. Relação produto escalar — cosseno do ângulo. Se \theta é o ângulo (menor) entre os vetores u e v, então vale a fórmula fundamental
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\,\cos\theta.
Vou justificar essa fórmula de maneira elementar em seguida porque ela é a chave: ela liga o produto escalar ao conceito geométrico de ângulo.

Passo 3

Justificando a fórmula u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\,\cos\theta (uma pequena “aula” para você entender onde vem):
Considere o triângulo formado pelos vetores u, v e u-v (colocados com a mesma origem). Pela identidade algébrica da norma ao quadrado:
\|u-v\|^2 = (u-v)\cdot(u-v) = u\cdot u + v\cdot v - 2\,u\cdot v = \|u\|^2 + \|v\|^2 - 2\,u\cdot v.
Por outro lado, pela lei dos cossenos do triângulo formado por u e v (o lado entre as extremidades de u e v tem comprimento \|u-v\|), temos
\|u-v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 - 2\|u\|\,\|v\|\cos\theta.
Comparando as duas expressões para \|u-v\|^2 obtemos imediatamente
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\,\cos\theta.
Essa é a relação que permite traduzir "ângulo de 90^\circ" em “produto escalar zero”: se \theta=\tfrac{\pi}{2} então \cos\theta=0 e assim u\cdot v=0, e vice-versa (desde que \|u\|,\|v\|>0).

Passo 4

Definição geométrica de retas perpendiculares (precisão). Duas retas r e s no espaço são chamadas de perpendiculares quando elas se intersectam em um ponto P e o ângulo formado por r e s naquele ponto é \tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ). Em termos vetoriais, ao escolher vetores não nulos \tilde u tangentes a r em P e \tilde v tangentes a s em P, a condição é que o ângulo entre \tilde u e \tilde v seja \tfrac{\pi}{2}.
Observação prática: se u é um vetor diretor de r e v é um vetor diretor de s, então vetores tangentes escolhidos em P podem ser exatamente u e v (ou escalares deles), porque vetores diretores representam a mesma direção em qualquer ponto da reta.

Passo 5

Prova da implicação (=>): Se as retas r e s são perpendiculares então os vetores diretores têm produto escalar zero.
Explicação passo a passo:
  • Hipótese: r e s se intersectam num ponto P e formam ângulo \tfrac{\pi}{2} em P.
  • Pegue vetores diretores u de r e v de s. Posicione-os com origem em P; eles representam as direções tangentes às retas em P.
  • O ângulo entre u e v é \theta=\tfrac{\pi}{2}. Pela fórmula do passo 3,
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\,\cos\theta = \|u\|\,\|v\|\,\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \|u\|\,\|v\| \cdot 0 = 0.
  • Conclusão: u\cdot v=0.
Esse raciocínio é direto: um ângulo reto implica cosseno zero, e produto escalar é produto das normas vezes o cosseno.

Passo 6

Prova da implicação (<=): Se os vetores diretores u e v têm produto escalar zero e as retas se intersectam, então as retas são perpendiculares.
Explicação passo a passo:
  • Hipótese: u\cdot v=0 e as retas r e s intersectam em um ponto P.
  • Usando a fórmula do passo 3, como \|u\|,\|v\|>0,
0 = u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\,\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = 0,
onde \theta é o ângulo entre u e v.
  • Então \theta=\tfrac{\pi}{2}, ou seja, os vetores diretores formam um ângulo reto em P.
  • Pelo significado geométrico de retas perpendiculares (definido no passo 4), isso implica que r e s são perpendiculares em P.

Passo 7

Observação sobre retas não concorrentes (esclarecimento prático que costuma confundir): se u\cdot v=0 mas r e s não se intersectam (isto é, são “skew” ou reversas), então apesar de as direções serem ortogonais, as retas não são perpendiculares no sentido geométrico porque não há ponto comum onde medir o ângulo. Em suma:
  • Para que a equivalência “retas perpendiculares \Leftrightarrow vetores diretores com produto escalar zero” seja válida, deve-se entender que a condição de interseção (concorrência) está presente. Muitas formulações omitem mencionar explicitamente a interseção porque definem “retas perpendiculares” já como retas concorrentes formando ângulo reto.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar (um jeito prático de aplicar na prova):
  • Suponha r:\; X=(0,0,0)+t(1,2,0) e s:\; X=(1,0,0)+s(-2,1,0).
  • Os vetores diretores são u=(1,2,0) e v=(-2,1,0).
  • Calcule u\cdot v = 1\cdot(-2) + 2\cdot1 + 0\cdot0 = -2+2+0 = 0.
  • Se r e s intersectam (verifique resolvendo t(1,2,0) = (1,0,0)+s(-2,1,0) para algum t,s), então são perpendiculares. (Se não intersectarem, então não são perpendiculares apesar do produto escalar ser zero.)

Resposta

Sejam r:\;X=A+t\,u e s:\;X=B+s\,v retas em \mathbb{R}^3 que se intersectam. Então r\perp s se, e somente se, u\cdot v=0.

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