Nos exercícios abaixo, considere fixado um sistema de coordenadas ortogonal
do espaço
. Isto é, um ponto
é representado por uma terna
, significando que
, onde “+” denota a soma de ponto com vetor e
é a base canônica de
(base ortonormal positivamente orientada). As equações de retas são dadas em relação a este sistema.
Mostre que duas retas no espaço são paralelas se, e somente se, seus vetores diretores são L.D.
Mostre que duas retas no espaço são paralelas se, e somente se, seus vetores diretores são L.D.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência lógica:
Informações que vamos usar (tirei oformato paramétrico das retas):
- Uma reta genérica pode ser escrita em forma paramétrica como
onde
são pontos quaisquer nas retas e
são vetores diretores não nulos.
- Definição usada de linearmente dependentes (para dois vetores):
e são L.D. se existem escalares , não ambos zero, tais que
Para dois vetores não nulos isso é equivalente a dizer que um é múltiplo escalar do outro (mostrarei isso formalmente).
- Definição usada de retas paralelas (afim): duas retas são paralelas se uma é tradução da outra, isto é, se existe
tal que
(essa é a definição afim padrão: linhas paralelas têm a mesma direção e diferem apenas por uma translação).
Passo 2
Explicar por que, para dois vetores não nulos, linearmente dependentes significa um ser múltiplo escalar do outro.
Tomemos
e suponha que existam
, não ambos zero, com
Se
então isolamos
:
logo
é múltiplo escalar de
. Se
então
e como
segue
, contradizendo “não ambos zero”. Portanto necessariamente
. Assim, para dois vetores não nulos, L.D.
existe
tal que
Essa forma será usada na prova principal.
Passo 3
Provar a implicação direta: se as retas são paralelas então os vetores diretores são L.D.
Suponha
e
paralelas. Pela definição afim, existe
tal que
Escrevendo
na forma paramétrica,
temos
Portanto
admite
como vetor diretor (ou seja, pode ser parametrizada usando
como direção). Como vetor diretor é definido apenas até multiplicação escalar (qualquer múltiplo não nulo de um vetor diretor também é vetor diretor da mesma reta), o vetor
que usamos para escrever
satisfaz
para algum
. Logo
e
são linearly dependentes (pela Equivalência do Passo 2). Isso prova a direção direta.
Passo 4
Provar a implicação recíproca: se os vetores diretores são L.D. então as retas são paralelas.
Suponha
e
são L.D. e ambos não nulos. Pelo Passo 2 existe
tal que
Escrevendo a reta
com esse fato,
onde
percorre todo
quando
percorre
(pois
). Assim
é exatamente um conjunto de pontos obtidos por traduzir a reta
(por exemplo traduzindo
para
): existe
tal que
Logo
e
são paralelas pela definição afim. Isso conclui a implicação recíproca.
Passo 5
Comentários finais, casos especiais e interpretação geométrica.
- É essencial que os vetores diretores sejam não nulos: uma reta não tem vetor diretor nulo.
- O escalar
pode ser positivo ou negativo; significa mesma orientação, significa orientação oposta — em ambos os casos as retas são paralelas geometricamente. - Geometricamente: vetores linearmente dependentes significam que apontam para a mesma linha de direção no espaço; isso é exatamente o que significa que duas retas tenham a mesma direção (sejam traduções uma da outra).
Resposta
Duas retas em
são paralelas se, e somente se, seus vetores diretores são linearmente dependentes (ou seja, se um vetor diretor é múltiplo escalar do outro).