Nos exercícios abaixo, considere fixado um sistema de coordenadas ortogonal
\Sigma=(O, C)
do espaço
\mathbb{R}^{3}
. Isto é, um ponto
P \in \mathbb{R}^{3}
é representado por uma terna
P=(x, y, z)
, significando que
P=O+(x, y, z)_{\mathcal{C}}
, onde “+” denota a soma de ponto com vetor e
\mathcal{C}
é a base canônica de
V^{3}
(base ortonormal positivamente orientada). As equações de retas são dadas em relação a este sistema.
Mostre que duas retas no espaço são paralelas se, e somente se, seus vetores diretores são L.D.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência lógica:
\text{duas retas em }\mathbb{R}^3 \text{ são paralelas} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{seus vetores diretores são linearmente dependentes (L.D.).}ãã
Informações que vamos usar (tirei oformato paramétrico das retas):
  • Uma reta genérica pode ser escrita em forma paramétrica como
L_1=\{P_0+t\,v_1\mid t\in\mathbb{R}\}, \qquad L_2=\{Q_0+s\,v_2\mid s\in\mathbb{R}\},
onde P_0,Q_0\in\mathbb{R}^3 são pontos quaisquer nas retas e v_1,v_2\in\mathbb{R}^3 são vetores diretores não nulos.
  • Definição usada de linearmente dependentes (para dois vetores): v_1 e v_2 são L.D. se existem escalares \alpha,\beta, não ambos zero, tais que
\alpha v_1+\beta v_2=0.
Para dois vetores não nulos isso é equivalente a dizer que um é múltiplo escalar do outro (mostrarei isso formalmente).
  • Definição usada de retas paralelas (afim): duas retas são paralelas se uma é tradução da outra, isto é, se existe w\in\mathbb{R}^3 tal que
L_2 = L_1 + w = \{x+w\mid x\in L_1\}.
(essa é a definição afim padrão: linhas paralelas têm a mesma direção e diferem apenas por uma translação).

Passo 2

Explicar por que, para dois vetores não nulos, linearmente dependentes significa um ser múltiplo escalar do outro.
Tomemos v_1,v_2\neq 0 e suponha que existam \alpha,\beta, não ambos zero, com
\alpha v_1+\beta v_2=0.
Se \beta\neq 0 então isolamos v_2:
v_2 = -\frac{\alpha}{\beta}\,v_1,
logo v_2 é múltiplo escalar de v_1. Se \beta=0 então \alpha v_1=0 e como v_1\neq 0 segue \alpha=0, contradizendo “não ambos zero”. Portanto necessariamente \beta\neq0. Assim, para dois vetores não nulos, L.D. \iff existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
v_2=\lambda v_1.
Essa forma será usada na prova principal.

Passo 3

Provar a implicação direta: se as retas são paralelas então os vetores diretores são L.D.
Suponha L_1 e L_2 paralelas. Pela definição afim, existe w\in\mathbb{R}^3 tal que
L_2 = L_1 + w.
Escrevendo L_1 na forma paramétrica,
L_1=\{P_0+t\,v_1\mid t\in\mathbb{R}\},
temos
L_2 = \{P_0+w+t\,v_1\mid t\in\mathbb{R}\}.
Portanto L_2 admite v_1 como vetor diretor (ou seja, pode ser parametrizada usando v_1 como direção). Como vetor diretor é definido apenas até multiplicação escalar (qualquer múltiplo não nulo de um vetor diretor também é vetor diretor da mesma reta), o vetor v_2 que usamos para escrever L_2 satisfaz
v_2=\lambda v_1
para algum \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Logo v_1 e v_2 são linearly dependentes (pela Equivalência do Passo 2). Isso prova a direção direta.

Passo 4

Provar a implicação recíproca: se os vetores diretores são L.D. então as retas são paralelas.
Suponha v_1 e v_2 são L.D. e ambos não nulos. Pelo Passo 2 existe \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\} tal que
v_2=\lambda v_1.
Escrevendo a reta L_2 com esse fato,
L_2=\{Q_0+s\,v_2\mid s\in\mathbb{R}\}=\{Q_0+s(\lambda v_1)\mid s\in\mathbb{R}\}=\{Q_0+t\,v_1\mid t\in\mathbb{R}\},
onde t=\lambda s percorre todo \mathbb{R} quando s percorre \mathbb{R} (pois \lambda\neq0). Assim L_2 é exatamente um conjunto de pontos obtidos por traduzir a reta \{P_0+t\,v_1\} (por exemplo traduzindo P_0 para Q_0): existe w=Q_0-P_0 tal que
L_2 = L_1 + w.
Logo L_1 e L_2 são paralelas pela definição afim. Isso conclui a implicação recíproca.

Passo 5

Comentários finais, casos especiais e interpretação geométrica.
  • É essencial que os vetores diretores sejam não nulos: uma reta não tem vetor diretor nulo.
  • O escalar \lambda pode ser positivo ou negativo; \lambda>0 significa mesma orientação, \lambda<0 significa orientação oposta — em ambos os casos as retas são paralelas geometricamente.
  • Geometricamente: vetores linearmente dependentes significam que apontam para a mesma linha de direção no espaço; isso é exatamente o que significa que duas retas tenham a mesma direção (sejam traduções uma da outra).

Resposta

Duas retas em \mathbb{R}^3 são paralelas se, e somente se, seus vetores diretores são linearmente dependentes (ou seja, se um vetor diretor é múltiplo escalar do outro).

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