Nos exercícios abaixo, considere fixado um sistema de coordenadas ortogonal
\Sigma=(O, C)
do espaço
\mathbb{R}^{3}
. Isto é, um ponto
P \in \mathbb{R}^{3}
é representado por uma terna
P=(x, y, z)
, significando que
P=O+(x, y, z)_{\mathcal{C}}
, onde “+” denota a soma de ponto com vetor e
\mathcal{C}
é a base canônica de
V^{3}
(base ortonormal positivamente orientada). As equações de retas são dadas em relação a este sistema.
Considere as retas
r: X=A+\mu \vec{u}, \quad s: Y=B+\lambda \vec{v},
onde
A, B \in \mathbb{R}^{3}
e
\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^{3}
são vetores diretores não nulos. Determine condições sobre
A, B, \vec{u}, \vec{v}
para que as retas
r
e
s
se intersectem.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r:\; X=A+\mu\vec{u},\qquad s:\; Y=B+\lambda\vec{v},
onde A,B\in\mathbb{R}^3 são pontos e \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 são vetores diretores não nulos. A pergunta é: quais condições sobre A,B,\vec{u},\vec{v} garantem que as retas r e s se intersectem?
Informações relevantes fornecidas:
  • As retas são dadas por parâmetros reais \mu,\lambda.
  • Uma interseção significa que existe ao menos um par (\mu,\lambda)\in\mathbb{R}^2 tal que o mesmo ponto pertence a r e a s.

Passo 2

Escrevendo a condição de interseção como equação vetorial: as retas intersectam se e só se existir \mu,\lambda tais que
A+\mu\vec{u}=B+\lambda\vec{v}.
Rearranjando,
B-A=\mu\vec{u}-\lambda\vec{v}.
Interpretação intuitiva: o vetor \,B-A\!\, (do ponto A até o ponto B) deve poder ser escrito como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Em palavras simples: o vetor B-A deve pertencer ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Vamos separar os casos conforme a relação entre \vec{u} e \vec{v}.
Primeiro conceito útil: produto vetorial. Para \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 o vetor \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular a ambos. Se \vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0}, então \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes (não paralelos) e geram um plano. Se \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}, então são paralelos.
Também útil: produto misto (ou triplo escalar). Para \vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^3,
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
é um número que mede o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Em particular, \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0 significa que \vec{a} é coplanar com \vec{b} e \vec{c}.

Passo 4

Caso A: \vec{u} e \vec{v} não são paralelos, ou seja
\vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0}.
Nesse caso \vec{u} e \vec{v} geram um plano. A condição necessária e suficiente para existir \mu,\lambda tal que B-A=\mu\vec{u}-\lambda\vec{v} é que o vetor B-A esteja nesse mesmo plano. Isso é expresso pelo produto misto:
(B-A)\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0.
Explicação: se (B-A)\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0 então B-A é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}, logo existem \mu,\lambda que satisfazem a equação; se o produto misto for diferente de zero, então B-A é fora do plano gerado por \vec{u},\vec{v} e não há interseção.
Além disso, quando \vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0} e (B-A)\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0, a interseção (caso exista) é única: duas retas não paralelas em um mesmo plano intersectam em exatamente um ponto.

Passo 5

Como encontrar os parâmetros \mu,\lambda\) na prática (método que dá para usar na prova): escreva as componentes \[\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\quad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),\quad \vec{d}=B-A=(d_1,d_2,d_3).
Temos o sistema linear em \mu,\lambda:
\begin{cases} \mu u_1-\lambda v_1=d_1,\\[4pt] \mu u_2-\lambda v_2=d_2,\\[4pt] \mu u_3-\lambda v_3=d_3. \end{cases}
Como \vec{u}\] e \(\vec{v} não são colineares, existem dois índices i,j\in\{1,2,3\} tais que
\Delta=u_i v_j-u_j v_i\neq 0.
Resolva as duas primeiras (ou as duas escolhidas) equações por Cramer:
\mu=\frac{\begin{vmatrix} d_i & -v_i\\[2pt] d_j & -v_j\end{vmatrix}}{\Delta}, \qquad \lambda=\frac{\begin{vmatrix} u_i & d_i\\[2pt] u_j & d_j\end{vmatrix}}{\Delta}.
Depois verifique que esses \mu,\lambda também satisfazem a terceira equação (essa verificação é equivalente à condição do produto misto do Passo 4).]

Passo 6

Caso B: \vec{u} e \vec{v} são paralelos, ou seja
\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}.
Então existe \alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\} com \vec{u}=\alpha\vec{v}. Há duas subpossibilidades:
  • Se (B-A)\times\vec{u}=\vec{0} (isto é, B-A também é paralelo a \vec{u}), então B está na linha que contém r, portanto as retas são colineares. Conclusão: ou coincidem (se representam exatamente a mesma reta) — aí há infinitos pontos em comum — ou, sendo ambas a mesma reta, qualquer ponto de uma pertence à outra. Na prática, se existe \mu tal que B=A+\mu\vec{u} então B pertence a r e as retas coincidem.
  • Se (B-A)\times\vec{u}\neq\vec{0}, então B-A não é paralelo a \vec{u}, ou seja, as duas retas são paralelas e distintas. Conclusão: não há interseção.

Passo 7

Resumo das condições (práticas) que pode usar na prova:
  • Se \vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0}: as retas intersectam sse
(B-A)\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0,
neste caso a interseção é um único ponto (encontrável resolvendo o sistema do Passo 5).
  • Se \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}: as retas são paralelas; então
    • se (B-A)\times\vec{u}=\vec{0} então as retas são colineares (coincidem) e têm interseção infinita (a própria reta);
    • se (B-A)\times\vec{u}\neq\vec{0} então as retas são paralelas e distintas e não se intersectam.

Resposta

Se \vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0}: as retas intersectam sse (B-A)\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0.\n
Se \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}: as retas são paralelas; intersectam (coincidem) sse (B-A)\times\vec{u}=\vec{0}, caso contrário não intersectam.

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