Nos exercícios abaixo, considere fixado um sistema de coordenadas ortogonal
\Sigma=(O, C)
do espaço
\mathbb{R}^{3}
. Isto é, um ponto
P \in \mathbb{R}^{3}
é representado por uma terna
P=(x, y, z)
, significando que
P=O+(x, y, z)_{\mathcal{C}}
, onde “+” denota a soma de ponto com vetor e
\mathcal{C}
é a base canônica de
V^{3}
(base ortonormal positivamente orientada). As equações de retas são dadas em relação a este sistema.
Sejam
P=(1,0,1)_{\Sigma}, Q=(0,1,1)_{\Sigma}
. Determine um ponto
C
da reta
P Q
tal que a área do triângulo
A B C
seja
1 / 2
, onde
A=(1,2,-1)_{\Sigma}, B=(1,-2,3)_{\Sigma}
. Justifique por que a solução pode não ser única.

Passo 1

O enunciado nos dá pontos no sistema de coordenadas \Sigma e pede: encontrar um ponto C que pertença à reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1/2. Dados fornecidos (vou escrever exatamente como foram dados):
  • P=(1,0,1)_{\Sigma}.
  • Q=(0,1,1)_{\Sigma}.
  • A=(1,2,-1)_{\Sigma}.
  • B=(1,-2,3)_{\Sigma}.
Pergunta que devemos responder:
  • Determinar um (ou mais) ponto(s) C pertencente(s) à reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1/2, e justificar por que a solução pode não ser única.

Passo 2

Vamos escrever a reta PQ numa forma paramétrica simples. A reta que passa por P e Q pode ser descrita por um parâmetro t usando o vetor diretor \overrightarrow{PQ}=Q-P.
Calculemos \overrightarrow{PQ}:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0).
Assim um ponto genérico C na reta PQ pode ser escrito como
C=P+t\,\overrightarrow{PQ}=(1,0,1)+t(-1,1,0).
Ou, coordenada a coordenada,
C=(1-t,\; t,\; 1).
Aqui t\in\mathbb{R} e cada valor de t dá um ponto da reta PQ.

Passo 3

Lembrando a fórmula da área de um triângulo em \mathbb{R}^3 dada por vetores:
  • Se as arestas a partir de A são os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, então a área do triângulo ABC é
\text{Área}(ABC)=\frac{1}{2}\,\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|.Á
Explicando cada símbolo:
  • \overrightarrow{AB}=B-A é o vetor que vai de A a B.
  • \overrightarrow{AC}=C-A é o vetor que vai de A a C.
  • \times é o produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3.
  • \|\cdot\| é a norma (comprimento) de um vetor.
No nosso problema queremos \text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}Á. Portanto devemos impor
\frac{1}{2}\,\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|=\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|=1.

Passo 4

Calculemos \overrightarrow{AB} (usando A e B dados) e \overrightarrow{AC} em função do parâmetro t.
Primeiro
\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-2,3)-(1,2,-1)=(0,-4,4).
Em seguida, usando a expressão de C do Passo 2:
\overrightarrow{AC}=C-A=(1-t,\; t,\;1)-(1,2,-1)=(-t,\; t-2,\; 2).

Passo 5

Agora calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Seja
\overrightarrow{AB}=(0,-4,4),\qquad \overrightarrow{AC}=(-t,\;t-2,\;2).
O produto vetorial em coordenadas é dado por
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & -4 & 4 \\\\ -t & t-2 & 2 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo a determinante coordenada a coordenada:
Componente x (multiplicador de \mathbf{i}):
(-4)\cdot 2 - 4\cdot (t-2) = -8 -4t +8 = -4t.
Componente y (multiplicador de \mathbf{j}), lembrando o sinal negativo ao desenvolver:
- \big(0\cdot 2 - 4\cdot(-t)\big) = -\big(0+4t\big) = -4t.
Componente z (multiplicador de \mathbf{k}):
0\cdot (t-2) - (-4)\cdot(-t) = 0 - 4t = -4t.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-4t,\; -4t,\; -4t)=-4t\,(1,1,1).
Observação didática: o produto vetorial resultou num vetor proporcional a (1,1,1); isso simplifica muito a norma.

Passo 6

Calculemos a norma do produto vetorial e imponhamos a condição \big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|=1.
A norma de -4t\,(1,1,1) é
\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|=|{-4t}|\cdot\|(1,1,1)\|=4|t|\cdot\sqrt{1^2+1^2+1^2}=4|t|\sqrt{3}.
Igualando a 1 (condição do Passo 3):
4|t|\sqrt{3}=1.
Daí
|t|=\frac{1}{4\sqrt{3}}.
Para escrever de forma mais bonita, racionalizando o denominador:
\frac{1}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{12}.

Passo 7

Como temos valor absoluto, obtemos duas possibilidades para t:
t=\frac{1}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{12} \qquad\text{ou}\qquad t=-\frac{1}{4\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{12}.
Agora escrevemos as coordenadas de C correspondentes a esses dois valores (lembrando que C=(1-t,\;t,\;1)).
Para t=\dfrac{\sqrt{3}}{12}:
C_1=\Bigl(1-\dfrac{\sqrt{3}}{12},\; \dfrac{\sqrt{3}}{12},\;1\Bigr).
Para t=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}:
C_2=\Bigl(1+\dfrac{\sqrt{3}}{12},\; -\dfrac{\sqrt{3}}{12},\;1\Bigr).
Podemos checar rapidamente (opcional) substituindo num dos casos que a norma do cross dá 1, o que devolve \text{Área}=\tfrac{1}{2}Á — isso foi garantido pelo cálculo algébrico anterior.

Passo 8

Justificativa da possível não unicidade: apareceu |t| na equação da área, logo a área depende somente do comprimento do vetor \overrightarrow{AC} na direção da reta (mais precisamente do módulo do parâmetro t), não do sinal de t. Geometricamente, movendo C ao longo da reta PQ em duas direções opostas a partir de P (ou de um ponto de referência) obtém-se triângulos com a mesma base AB e mesma “altura” em módulo, mas com C em lados opostos da perpendicular ao plano determinado por AB. Assim geralmente há duas soluções simétricas em relação a um ponto (aqui refletidas por t e -t). Em resumo: a equação da área envolve módulo, por isso podem existir duas soluções simétricas ao longo da reta.

Resposta

C=\displaystyle\Bigl(1-\dfrac{\sqrt{3}}{12},\;\dfrac{\sqrt{3}}{12},\;1\Bigr)
C=\displaystyle\Bigl(1+\dfrac{\sqrt{3}}{12},\;-\dfrac{\sqrt{3}}{12},\;1\Bigr)

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