Nos exercícios abaixo, considere fixado um sistema de coordenadas ortogonal
\Sigma=(O, C)
do espaço
\mathbb{R}^{3}
. Isto é, um ponto
P \in \mathbb{R}^{3}
é representado por uma terna
P=(x, y, z)
, significando que
P=O+(x, y, z)_{\mathcal{C}}
, onde “+” denota a soma de ponto com vetor e
\mathcal{C}
é a base canônica de
V^{3}
(base ortonormal positivamente orientada). As equações de retas são dadas em relação a este sistema.
Sejam
P=(1,0,1)_{\Sigma}, Q=(0,1,1)_{\Sigma}
. Determine um ponto
C
da reta
P Q
tal que a área do triângulo
A B C
seja
1 / 2
, onde
A=(1,2,-1)_{\Sigma}, B=(1,-2,3)_{\Sigma}
. Justifique por que a solução pode não ser única.
Passo 1
O enunciado nos dá pontos no sistema de coordenadas \Sigma e pede: encontrar um ponto C que pertença à reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1/2. Dados fornecidos (vou escrever exatamente como foram dados):
P=(1,0,1)_{\Sigma}.
Q=(0,1,1)_{\Sigma}.
A=(1,2,-1)_{\Sigma}.
B=(1,-2,3)_{\Sigma}.
Pergunta que devemos responder:
Determinar um (ou mais) ponto(s) C pertencente(s) à reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1/2, e justificar por que a solução pode não ser única.
Passo 2
Vamos escrever a reta PQ numa forma paramétrica simples. A reta que passa por P e Q pode ser descrita por um parâmetro t usando o vetor diretor \overrightarrow{PQ}=Q-P.
Calculemos \overrightarrow{PQ}:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0).
Assim um ponto genérico C na reta PQ pode ser escrito como
C=P+t\,\overrightarrow{PQ}=(1,0,1)+t(-1,1,0).
Ou, coordenada a coordenada,
C=(1-t,\; t,\; 1).
Aqui t\in\mathbb{R} e cada valor de t dá um ponto da reta PQ.
Passo 3
Lembrando a fórmula da área de um triângulo em \mathbb{R}^3 dada por vetores:
Se as arestas a partir de A são os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, então a área do triângulo ABC é
Podemos checar rapidamente (opcional) substituindo num dos casos que a norma do cross dá 1, o que devolve \text{Área}=\tfrac{1}{2}Á — isso foi garantido pelo cálculo algébrico anterior.
Passo 8
Justificativa da possível não unicidade: apareceu |t| na equação da área, logo a área depende somente do comprimento do vetor \overrightarrow{AC} na direção da reta (mais precisamente do módulo do parâmetro t), não do sinal de t. Geometricamente, movendo C ao longo da reta PQ em duas direções opostas a partir de P (ou de um ponto de referência) obtém-se triângulos com a mesma base AB e mesma “altura” em módulo, mas com C em lados opostos da perpendicular ao plano determinado por AB. Assim geralmente há duas soluções simétricas em relação a um ponto (aqui refletidas por t e -t). Em resumo: a equação da área envolve módulo, por isso podem existir duas soluções simétricas ao longo da reta.