Nos exercícios abaixo, considere fixado um sistema de coordenadas ortogonal
Sigma=(0, E) do espaço R^3. Isto é, um ponto P in R^3 é representado por uma terna P=(x, y, z), significando que P=O+(x, y, z)C, onde " + " denota a soma de ponto com vetor e E é uma base ortonormal positiva de V^3.
Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados e é concorrente com a reta s: x-21=y+1-2=z1 e passa pelo ponto (3,0,1)Sigma.

Passo 1

O enunciado pede uma reta em R^3 que (i) forma ângulos congruentes com os três eixos coordenados, (ii) passa por P=(3,0,1) e (iii) intersecta a reta
s:x-21=y+1-2=z1
Para que uma reta faça ângulos iguais com os eixos, sua direção deve ter cosenos iguais, ou seja, um vetor diretor da forma
v = (varepsilon1,varepsilon2,varepsilon3),
com varepsiloni=pm1. Vamos parametrizar ambas as retas e impor que elas se interceptem.

Passo 2

Parametrizamos a reta procurada L por
(x,y,z) = (3,0,1) + t,(varepsilon1,varepsilon2,varepsilon3)
e a reta s por
(x,y,z) = (2+lambda,,-1-2lambda,,lambda)
Igualando coordenadas, obtemos o sistema
3 + t,varepsilon1 = 2 + lambda, t,varepsilon2 = -1 - 2lambda, 1 + t,varepsilon3 = lambda

Passo 3

Da primeira e da terceira equação segue
t(varepsilon1-varepsilon3) = 0 Longrightarrow varepsilon1=varepsilon3
Substituindo na segunda:
t(varepsilon2+2,varepsilon3)=-3
Escolhendo a orientação natural varepsilon1=varepsilon2=varepsilon3=1, temos
t = -31+2 = -1,
o que garante interseção (em lambda=0 sobre s) e direção correta.

Resposta

(x,y,z) = (3,0,1) + t,(1,1,1)

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