Nos exercícios abaixo, considere fixado um sistema de coordenadas ortogonal
Sigma=(0, E) do espaço R^3. Isto é, um ponto P in R^3 é representado por uma terna P=(x, y, z), significando que P=O+(x, y, z)C, onde " + " denota a soma de ponto com vetor e E é uma base ortonormal positiva de V^3.
Determine a medida em radianos do ângulo entre a reta x=y=z e o plano dado por z=0.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta rcolon x=y=z e o plano z=0. O conteúdo é geometria vetorial: o ângulo entre uma reta e um plano é o complementar do ângulo entre a direção da reta e a normal ao plano.

Passo 2

Identificamos um vetor diretor da reta r. Como x=y=z=t, um vetor diretor é
v = (1,,1,,1)

Passo 3

O plano z=0 é o plano xy, cuja normal convenhamos ser
n = (0,,0,,1)

Passo 4

Calculamos o ângulo varphi entre v e n pela fórmula
cosvarphi = vcdot n|v|,|n| = 1raiz3cdot1 = 1raiz3
Logo
varphi = arccos!l(tfrac1raiz3r)

Passo 5

O ângulo alpha entre a reta e o plano é dado por
alpha = pi2 - varphi = pi2 - arccos!l(tfrac1raiz3r),
o que equivale a
alpha = arcsin!l(tfrac1raiz3r)

Resposta

alpha = arcsin!l(tfrac1raiz3r) rad

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