Nos exercícios abaixo, determinar a solução particular que satisfaça às condições iniciais dadas.
-
, com
e
;
-
e
;
-
e
;
-
, com
e
.
Passo 1
Temos quatro equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. Para resolver cada uma, vamos usar a equação característica, obter as raízes, escrever a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.
Passo 2
Exercício 1: Começamos com
. Dividindo por 2, a equação característica é
, com raízes
e
. Logo a solução geral é
. Derivando,
. Aplicando
e
, obtemos
Resolvendo, e
, de modo que
Resolvendo,
Passo 3
Exercício 2: A equação é
. A característica
dá
, então
Passo 4
Aplicando
e
resulta no sistema
Da segunda equação vem
Passo 5
Exercício 3: Para
, a característica
tem raízes
. Então
Passo 6
É conveniente mudar para
:
Passo 7
As condições
e
viram
Resolvendo,
Passo 8
Exercício 4: Em
, a característica
dá
. A solução é
Passo 9
Da condição
e
, usamos o ODE para achar
. Isso leva a
. Mas
Passo 10
de onde
. Logo
Resposta
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)
(3)
(4)