Nos exercícios abaixo, determinar a solução particular que satisfaça às condições iniciais dadas.
  1. 2 y^prime prime+3 y^prime=0, com y(0)=1 e y^prime(0)=1;
  2. y^prime prime+25 y=0, com y(3)=-1 e y^prime(3)=0;
  3. y^prime prime-4 y^prime-y=0, com y(1)=2 e y^prime(1)=-1;
  4. y^prime prime+4 y^prime+5 y=0, com y(0)=2 e y^prime(0)=y^prime prime(0).

Passo 1

Temos quatro equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. Para resolver cada uma, vamos usar a equação característica, obter as raízes, escrever a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.

Passo 2

Exercício 1: Começamos com 2y''+3y'=0. Dividindo por 2, a equação característica é r^2+tfrac32r=0, com raízes r=0 e r=-tfrac32. Logo a solução geral é y=C1+C2e^-tfrac32x. Derivando, y'=-tfrac32C2e^-tfrac32x. Aplicando y(0)=1 e y'(0)=1, obtemos
C1+C2=1,-tfrac32C2=1
Resolvendo, C2=-tfrac23 e C1=tfrac53, de modo que
y=tfrac53-tfrac23e^-tfrac32x

Passo 3

Exercício 2: A equação é y''+25y=0. A característica r^2+25=0 r=pm5i, então
y=C1cos(5x)+C2sin(5x), y'=-5C1sin(5x)+5C2cos(5x)

Passo 4

Aplicando y(3)=-1 e y'(3)=0 resulta no sistema
C1cos(15)+C2sin(15)=-1,-5C1sin(15)+5C2cos(15)=0
Da segunda equação vem C2=C1tan(15). Substituindo na primeira achamos C1=-cos(15) e C2=-sin(15). Assim
y=-cos(15)cos(5x)-sin(15)sin(5x)=-cos(5x-15)

Passo 5

Exercício 3: Para y''-4y'-y=0, a característica r^2-4r-1=0 tem raízes 2pmraiz5. Então
y=C1e^(2+raiz5)x+C2e^(2-raiz5)x

Passo 6

É conveniente mudar para t=x-1:
y=alpha e^(2+raiz5)t+beta e^(2-raiz5)t, t=x-1

Passo 7

As condições y(1)=2 e y'(1)=-1 viram
alpha+beta=2,(2+raiz5)alpha+(2-raiz5)beta=-1
Resolvendo, alpha=tfrac2raiz5-52raiz5 e beta=tfrac5+2raiz52raiz5. Logo
y=2raiz5-52raiz5e^(2+raiz5)(x-1)+5+2raiz52raiz5e^(2-raiz5)(x-1)

Passo 8

Exercício 4: Em y''+4y'+5y=0, a característica r^2+4r+5=0 r=-2pm i. A solução é
y=e^-2x(C1cos x+C2sin x)

Passo 9

Da condição y'(0)=y''(0) e y(0)=2, usamos o ODE para achar y''(0)=-4y'(0)-5y(0). Isso leva a y'(0)=-2. Mas
y'(0)=-2C1+C2=-2, C1=y(0)=2,

Passo 10

de onde C2=2. Logo
y=2e^-2x(cos x+sin x)

Resposta

(1) y=tfrac53-tfrac23e^-tfrac32x
(2) y=-cos(5x-15)
(3) y=dfrac2raiz5-52raiz5e^(2+raiz5)(x-1)+dfrac5+2raiz52raiz5e^(2-raiz5)(x-1)
(4) y=2e^-2x(cos x+sin x)

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