Calcule a integral usando o método das substituições trigonométricas.
integral raiz1+x^2x d x.

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral I=integralraiz1+x^2x,dx. O tema aqui é substituição trigonométrica: como aparece raiz1+x^2, faz sentido usar x=tantheta para transformar a raiz em sectheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x=tantheta temos
raiz1+x^2=raiz1+tan^2theta=sectheta,
dx=sec^2theta,dtheta
Logo a integral vira
$$
I=\int\frac{\sec\theta}{\tan\theta}\cdot\sec^2\theta,d\theta
=\int\frac{\sec^3\theta}{\tan\theta},d\theta.
$$

Passo 3

Para simplificar sec^3thetatantheta escrevemos em termos de sin e cos:
sec^3thetatantheta=1/cos^3thetasintheta/costheta=1sintheta,cos^2theta
Assim
I=integral1sintheta,cos^2theta,dtheta

Passo 4

Agora fazemos a substituição auxiliar u=sectheta. Então
du=secthetatantheta,dtheta Longrightarrow dtheta=dusecthetatantheta
Na integral original em theta:
1sintheta,cos^2theta,dtheta =sec^2thetatantheta,dtheta =sec^2thetatanthetacdotdusecthetatantheta =sec^2thetasectheta,tan^2theta,du =secthetatan^2theta,du =u(u^2-1),du,
pois tan^2theta=sec^2theta-1=u^2-1.

Passo 5

Agora integramos em u:
integraluu^2-1,du =12integral2uu^2-1,du =12lnl|u^2-1r|+C =12ln|u-1| - 12ln|u+1|+C
Somando a parte que ficou fora (se houver), temos
I = 12lngl|u-1u+1gr| + C

Passo 6

Voltando a variável x: como u=sectheta=raiz1+x^2, obtemos
I=12lngl|raiz1+x^2-1raiz1+x^2+1gr|+C
Para deixar a resposta mais padrão, usamos a identidade

Passo 7

(Aqui explicamos que, usando propriedades do log e a relação x=tantheta, a expressão simplifica para a forma final.)

Resposta

raiz1+x^2+lnl|tfracx1+raiz1+x^2r|+C

Exercícios relacionados