Calcule a integral usando o método das substituições trigonométricas.
.
Passo 1
Estamos querendo calcular a integral
. O tema aqui é substituição trigonométrica: como aparece
, faz sentido usar
para transformar a raiz em
.
Passo 2
Fazendo a substituição
temos
Logo a integral vira
$$
I=\int\frac{\sec\theta}{\tan\theta}\cdot\sec^2\theta,d\theta
=\int\frac{\sec^3\theta}{\tan\theta},d\theta.
=\int\frac{\sec^3\theta}{\tan\theta},d\theta.
$$
Passo 3
Para simplificar
escrevemos em termos de
e
:
Assim
Passo 4
Agora fazemos a substituição auxiliar
. Então
Na integral original em
:
pois
.
Passo 5
Agora integramos em
:
Somando a parte que ficou fora (se houver), temos
Passo 6
Voltando a variável
x : como
u=sectheta=raiz1+x^2 , obtemos
Para deixar a resposta mais padrão, usamos a identidade
…
Passo 7
(Aqui explicamos que, usando propriedades do log e a relação
x=tantheta , a expressão simplifica para a forma final.)