Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
  1. f(x, y)=x^2+2 y^2-6 x+8 y-1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=x{2}+2y{2}-6x+8y-1 e queremos achar os pontos críticos e classificá-los como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e teste da segunda derivada (Hessiano).

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais:
Derivando em relação a x temos
partial fpartial x=2x-6
Derivando em relação a y temos
partial fpartial y=4y+8
Para achar o ponto crítico igualamos a zero as duas derivadas:
2x-6=0 x=3
4y+8=0 y=-2
Logo o ponto crítico é (3, −2).

Passo 3

Cálculo do Hessiano: montamos a matriz das segundas derivadas
H= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 =2 & 00 & 4

Passo 4

Aplicação do teste da segunda derivada: calculamos o determinante principal
D=det(H)=2cdot4-0^2=8>0
E observamos partial^2 fpartial x^2=2>0. Como D>0 e f_{xx}>0, concluímos que (3, −2) é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (3, −2) e ele é um mínimo local.

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