Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=x{2}+2y{2}-6x+8y-1 e queremos achar os pontos críticos e classificá-los como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e teste da segunda derivada (Hessiano).
Passo 2
Cálculo das derivadas parciais:
Derivando em relação a x temos
Derivando em relação a y temos
Para achar o ponto crítico igualamos a zero as duas derivadas: ⇒ ⇒
Logo o ponto crítico é (3, −2).
Passo 3
Cálculo do Hessiano: montamos a matriz das segundas derivadas
Passo 4
Aplicação do teste da segunda derivada: calculamos o determinante principal D=det(H)=2cdot4-0^2=8>0
E observamos partial^2 fpartial x^2=2>0. Como D>0 e f_{xx}>0, concluímos que (3, −2) é um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é (3, −2) e ele é um mínimo local.