Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x>0 para os quais a série converge:
3) 1+x^22+x^44+ldots=1+sumk=1^infty x^2 k2 k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x>0 que fazem a série 1 + sumk=1^infty x^2k2k convergir. O conteúdo aqui é análise de séries de potências e vamos usar o teste da razão para séries.

Passo 2

Seja ak = x^2k2k. Aplicando o teste da razão, computamos
limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty x^2(k+1)/[2(k+1)]x^2k/(2k) = limktoinfty x^2 kk+1 = x^2
A série converge se esse limite for menor que 1, isto é, quando x^2<1.

Passo 3

Precisamos agora verificar o caso de fronteira. Para x=1 a série se torna 1 + sumk=1^infty tfrac12k, que diverge por comparação com a série harmônica. Para x>1 os termos não tendem a zero, então também diverge. Assim, a convergência ocorre exatamente para 0.

Resposta

0 < x < 1

Exercícios relacionados