Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x>0 para os quais a série converge:
1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{3}+\ldots=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{k+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k+1}
e pede os valores de x>0 para os quais ela converge. O conteúdo principal aqui é o teste da razão aplicado a séries de potências para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Seja
a_k = \frac{x^{2k}}{k+1}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{x^{2(k+1)}/(k+2)}{\,x^{2k}/(k+1)\,} = x^2\;\frac{k+1}{k+2}.

Passo 3

Tomando o limite quando k\to\infty, temos
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = x^2\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k+2} = x^2.
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja, se
x^2 < 1\quad\Longrightarrow\quad 0<x<1.

Passo 4

No ponto de fronteira x=1, a série vira
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1},
que é a série harmônica e diverge. Logo, x=1 não deve ser incluído.

Resposta

A série converge exatamente para
0 < x < 1.

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