Sejam \vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right) e \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right) vetores quaisquer do \mathbb{R}^{n}. Mostre que
\|\vec{u}-\vec{v}\| \geqslant\left|u_{i}-v_{i}\right|, i=1,2, \ldots, n .

Passo 1

O enunciado dá dois vetores quaisquer em \mathbb{R}^n:
\vec{u}=(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}),\qquad \vec{v}=(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})
e pede para mostrar que, para cada índice i com i=1,2,\ldots,n,
\|\vec{u}-\vec{v}\| \geqslant \left|u_{i}-v_{i}\right|.
As informações relevantes que temos são apenas as componentes u_k e v_k desses vetores (nenhuma hipótese extra foi dada).

Passo 2

Defino o vetor diferença \vec{w}=\vec{u}-\vec{v}. Suas componentes são
w_k = u_k - v_k,\qquad k=1,2,\ldots,n.
Vou trabalhar com a norma euclidiana (padrão) do vetor \vec{w}, que é definida por
\|\vec{w}\| = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} w_k^{2}}.
Aqui cada w_k^{2} é o quadrado da componente k-ésima de \vec{w}.

Passo 3

Observe que para todo k temos w_k^{2}\ge 0 (quadrado é sempre não negativo). Assim a soma de todos esses quadrados é maior ou igual ao quadrado de qualquer uma das parcelas. Em particular, para o índice fixo i,
\sum_{k=1}^{n} w_k^{2} \ge w_i^{2}.
Esta desigualdade é óbvia porque a soma do lado esquerdo contém w_i^{2} mais outros termos não negativos.

Passo 4

Agora aplico a função raiz quadrada, que é monótona crescente no intervalo [0,\infty): se A\ge B\ge 0 então \sqrt{A}\ge\sqrt{B}. Como \sum_{k=1}^{n} w_k^{2}\ge w_i^{2}\ge 0, segue
\sqrt{\sum_{k=1}^{n} w_k^{2}} \ge \sqrt{w_i^{2}}.

Passo 5

Pelo passo anterior, o lado esquerdo é \|\vec{w}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\|. E a raiz quadrada do quadrado de um número real é o valor absoluto desse número, isto é \sqrt{w_i^{2}} = |w_i|. Substituindo obtemos
\|\vec{u}-\vec{v}\| \ge |w_i|.
Lembrando que w_i = u_i - v_i, temos exatamente
\|\vec{u}-\vec{v}\| \ge \left|u_i - v_i\right|.

Passo 6

Para fixar a intuição, um exemplo rápido: tome \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(4,2,1). Então \vec{u}-\vec{v}=(-3,0,2), a norma é
\|\vec{u}-\vec{v}\| = \sqrt{(-3)^{2}+0^{2}+2^{2}} = \sqrt{9+0+4}=\sqrt{13}\approx 3,606,
e as diferenças absolutas das componentes são |u_1-v_1|=3, |u_2-v_2|=0, |u_3-v_3|=2; de fato \sqrt{13}\ge 3,\,0,\,2, confirmando a desigualdade.

Passo 7

Comentário adicional útil para a prova: quando há igualdade? Da desigualdade
\sum_{k=1}^{n} w_k^{2} \ge w_i^{2}
temos igualdade exatamente quando todos os outros termos são zero, isto é, w_k=0 para todo k\neq i. Em palavras: \|\vec{u}-\vec{v}\| = |u_i-v_i| ocorre se e somente se u_k=v_k para todo k\neq i.

Resposta

\displaystyle \|\vec{u}-\vec{v}\| \geqslant \left|u_{i}-v_{i}\right|,\quad i=1,2,\ldots,n.

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