As informações relevantes que temos são apenas as componentes u_k e v_k desses vetores (nenhuma hipótese extra foi dada).
Passo 2
Defino o vetor diferença \vec{w}=\vec{u}-\vec{v}. Suas componentes são
w_k = u_k - v_k,\qquad k=1,2,\ldots,n.
Vou trabalhar com a norma euclidiana (padrão) do vetor \vec{w}, que é definida por
\|\vec{w}\| = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} w_k^{2}}.
Aqui cada w_k^{2} é o quadrado da componente k-ésima de \vec{w}.
Passo 3
Observe que para todo k temos w_k^{2}\ge 0 (quadrado é sempre não negativo). Assim a soma de todos esses quadrados é maior ou igual ao quadrado de qualquer uma das parcelas. Em particular, para o índice fixo i,
\sum_{k=1}^{n} w_k^{2} \ge w_i^{2}.
Esta desigualdade é óbvia porque a soma do lado esquerdo contém w_i^{2} mais outros termos não negativos.
Passo 4
Agora aplico a função raiz quadrada, que é monótona crescente no intervalo [0,\infty): se A\ge B\ge 0 então \sqrt{A}\ge\sqrt{B}. Como \sum_{k=1}^{n} w_k^{2}\ge w_i^{2}\ge 0, segue
\sqrt{\sum_{k=1}^{n} w_k^{2}} \ge \sqrt{w_i^{2}}.
Passo 5
Pelo passo anterior, o lado esquerdo é \|\vec{w}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\|. E a raiz quadrada do quadrado de um número real é o valor absoluto desse número, isto é \sqrt{w_i^{2}} = |w_i|. Substituindo obtemos
\|\vec{u}-\vec{v}\| \ge |w_i|.
Lembrando que w_i = u_i - v_i, temos exatamente
\|\vec{u}-\vec{v}\| \ge \left|u_i - v_i\right|.
Passo 6
Para fixar a intuição, um exemplo rápido: tome \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(4,2,1). Então \vec{u}-\vec{v}=(-3,0,2), a norma é
e as diferenças absolutas das componentes são |u_1-v_1|=3, |u_2-v_2|=0, |u_3-v_3|=2; de fato \sqrt{13}\ge 3,\,0,\,2, confirmando a desigualdade.
Passo 7
Comentário adicional útil para a prova: quando há igualdade? Da desigualdade
\sum_{k=1}^{n} w_k^{2} \ge w_i^{2}
temos igualdade exatamente quando todos os outros termos são zero, isto é, w_k=0 para todo k\neq i. Em palavras: \|\vec{u}-\vec{v}\| = |u_i-v_i| ocorre se e somente se u_k=v_k para todo k\neq i.