Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
Passo 1
Enunciado e o que se pede:\n
- Função dada:
.\n - Ponto indicado:
.\n - Pedido: encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto cujo projeção no plano é .\n
Informações relevantes que o enunciado dá:\n - O valor de
e no ponto onde queremos o plano tangente é e .\n - O plano tangente será uma equação envolvendo
, e que toca a superfície em .
Passo 2
Conceito e fórmula do plano tangente (aula rápida e prática):\n
Se é diferenciável num ponto
, o plano tangente à superfície
em
é dado por\n
Se
Expliquei cada termo:\n
-
é o valor da função no ponto (é a altura do ponto de contato).\n -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em — mede a inclinação da superfície na direção do eixo no ponto.\n -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em — mede a inclinação na direção do eixo no ponto.\n
Na nossa questão,e . Vamos calcular , e .
Passo 3
Calcular
:\n
Primeiro relembrar a função e substituir .\n
Primeiro relembrar a função e substituir
Como
, obtemos
Portanto o ponto de contato na superfície é
.
Passo 4
Calcular a derivada parcial
:\n
É conveniente reescrever como potência de
:
É conveniente reescrever
Ao derivar em relação a
tratamos
como constante (porque é parcial em
). Aplicando a regra básica
, temos
Ou seja,
Passo 5
Calcular a derivada parcial
:\n
Agora tratamos como constante. Partimos de
. A derivada de
em relação a
é
(regra da potência). Multiplicando pelo fator
(constante) obtemos
Agora tratamos
Passo 6
Avaliar as parciais em
:\n
Usando as expressões obtidas,
Usando as expressões obtidas,
Para
:
Para
:
Calcule
:
Então
Passo 7
Substituir na fórmula do plano tangente:\n
A fórmula com e
é
A fórmula com
Substituindo os valores calculados
,
,
, obtemos
Esta é a expressão do plano tangente escrita de forma direta a partir da fórmula. (Na seção de resposta vou apresentar a forma final simplificada.)