Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{y}}, (4,4)

Passo 1

Enunciado e o que se pede:\n
  • Função dada: f(x,y)=\dfrac{x}{\sqrt{y}}.\n
  • Ponto indicado: (4,4).\n
  • Pedido: encontrar a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto cujo projeção no plano xy é (4,4).\n
    Informações relevantes que o enunciado dá:\n
  • O valor de x e y no ponto onde queremos o plano tangente é x=4 e y=4.\n
  • O plano tangente será uma equação envolvendo x, y e z que toca a superfície em (4,4,f(4,4)).

Passo 2

Conceito e fórmula do plano tangente (aula rápida e prática):\n
Se f é diferenciável num ponto (a,b), o plano tangente à superfície z=f(x,y) em (a,b,f(a,b)) é dado por\n
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
Expliquei cada termo:\n
  • f(a,b) é o valor da função no ponto (é a altura z do ponto de contato).\n
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b) — mede a inclinação da superfície na direção do eixo x no ponto.\n
  • f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b) — mede a inclinação na direção do eixo y no ponto.\n
    Na nossa questão, a=4 e b=4. Vamos calcular f(4,4), f_x(4,4) e f_y(4,4).

Passo 3

Calcular f(4,4):\n
Primeiro relembrar a função e substituir (x,y)=(4,4).\n
f(4,4)=\frac{4}{\sqrt{4}}.
Como \sqrt{4}=2, obtemos
f(4,4)=\frac{4}{2}=2.
Portanto o ponto de contato na superfície é (4,4,2).

Passo 4

Calcular a derivada parcial \;f_x(x,y):\n
É conveniente reescrever f como potência de y:
f(x,y)=x\,y^{-1/2}.
Ao derivar em relação a x tratamos y como constante (porque é parcial em x). Aplicando a regra básica \dfrac{\partial}{\partial x}(x\cdot g(y))=1\cdot g(y), temos
f_x(x,y)=y^{-1/2}.
Ou seja,
f_x(x,y)=\frac{1}{\sqrt{y}}.

Passo 5

Calcular a derivada parcial \;f_y(x,y):\n
Agora tratamos x como constante. Partimos de f(x,y)=x\,y^{-1/2}. A derivada de y^{-1/2} em relação a y é -\tfrac{1}{2}y^{-3/2} (regra da potência). Multiplicando pelo fator x (constante) obtemos
f_y(x,y)=x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}y^{-3/2}\right) = -\frac{x}{2\,y^{3/2}}.

Passo 6

Avaliar as parciais em (4,4):\n
Usando as expressões obtidas,
Para f_x:
f_x(4,4)=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}.
Para f_y:
f_y(4,4)=-\frac{4}{2\cdot 4^{3/2}}.
Calcule 4^{3/2}: \;4^{3/2}=(\sqrt{4})^3=2^3=8. Então
f_y(4,4)=-\frac{4}{2\cdot 8}=-\frac{4}{16}=-\frac{1}{4}.

Passo 7

Substituir na fórmula do plano tangente:\n
A fórmula com a=4 e b=4 é
z = f(4,4) + f_x(4,4)\,(x-4) + f_y(4,4)\,(y-4).
Substituindo os valores calculados f(4,4)=2, f_x(4,4)=\tfrac{1}{2}, f_y(4,4)=-\tfrac{1}{4}, obtemos
z = 2 + \tfrac{1}{2}(x-4) - \tfrac{1}{4}(y-4).
Esta é a expressão do plano tangente escrita de forma direta a partir da fórmula. (Na seção de resposta vou apresentar a forma final simplificada.)

Resposta

z=\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{4}y+1

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