Considere a função
.
(a) Encontre a equação da curva de nível que passa por
(b) Encontre um vetor no qual a taxa de variação direcional seja nula
(c) Qual a relação entre esse vetor e a curva de nível?
(a) Encontre a equação da curva de nível que passa por
(b) Encontre um vetor no qual a taxa de variação direcional seja nula
(c) Qual a relação entre esse vetor e a curva de nível?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(a) a equação da curva de nível que passa pelo ponto ;
(b) encontrar um vetor para o qual a taxa de variação direcional de em
seja nula;
(c) dizer qual é a relação entre esse vetor e a curva de nível.
(a) a equação da curva de nível que passa pelo ponto
(b) encontrar um vetor para o qual a taxa de variação direcional de
(c) dizer qual é a relação entre esse vetor e a curva de nível.
Informações importantes fornecidas:
.\n
é o ponto por onde a curva de nível deve passar.\n
Nenhuma outra informação adicional foi dada.
Nenhuma outra informação adicional foi dada.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar o valor da função em
, porque a curva de nível que passa por
é o conjunto de pontos onde
tem esse mesmo valor.
Calculemos
:
Portanto a curva de nível que passa por
é a reunião dos pontos
tais que
.
Passo 3
Escrevendo a equação da curva de nível com o valor encontrado:
Vamos manipular essa equação para enxergá-la melhor. Factorizando:
Isto significa que os pontos da curva de nível satisfazem
ou
, ou seja,
ou
.
Como queremos a curva de nível que passa por
, devemos escolher o ramo que realmente contém
. Substituindo
vemos que
é o ramo correto (pois
), enquanto
não passa por
. Logo a curva de nível procurada, localmente, é a reta
que também pode ser descrita globalmente pela equação
.
Passo 4
Agora precisamos entender o que é a “taxa de variação direcional” e como calculá-la. Vou explicar de forma bem direta:
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário é dada por
onde
é o gradiente de
e o ponto central
aparece nos componentes do gradiente.
- O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Para duas variáveis:
O gradiente aponta na direção de maior aumento de
e é ortogonal às curvas de nível.
- Se quisermos que a derivada direcional seja nula, precisamos de um vetor
tal que . Se for unitário, a condição é .
Passo 5
Calculemos o gradiente de
.
As derivadas parciais são:
Portanto
No ponto
isso dá
Passo 6
Queremos um vetor para o qual a derivada direcional em
seja zero. Usando a condição de ortogonalidade:
Se tomarmos
qualquer (não necessariamente unitário), isso vira
Logo
. Qualquer vetor proporcional a
satisfaz isso. Para fornecer um vetor unitário (pois normalmente a derivada direcional usa vetor unitário), escolhemos
Verificação rápida:
portanto a taxa de variação direcional nessa direção é nula. Também serve qualquer vetor não nulo paralelo a
, por exemplo
mesmo (quando se usa vetor não-unitário, a derivada direcional considera a normalização; a condição de produto nulo é a mesma).
Passo 7
Agora a relação entre esse vetor e a curva de nível: a curva de nível que passa por
é
. Um vetor tangente a essa curva no ponto
é justamente
(ou qualquer múltiplo). Observamos que esse vetor tangente é ortogonal ao gradiente
, e por isso a derivada direcional ao longo dele é zero.
Intuição final: mover-se ao longo da curva de nível não muda o valor de
, então a taxa de variação de
na direção tangente à curva de nível é zero. O gradiente é perpendicular às curvas de nível e aponta na direção de maior subida; o vetor que torna a derivada direcional nula é tangente à curva de nível.
Resposta
(a)
(ramo que passa por
:
).\n
(b) Por exemplo (ou qualquer vetor não nulo paralelo a
).\n
(c) Esse vetor é tangente à curva de nível em ; é ortogonal ao gradiente
.
(b) Por exemplo
(c) Esse vetor é tangente à curva de nível em