Considere a função f(x, y)=x^{2}-y^{2}.
(a) Encontre a equação da curva de nível que passa por (1,1)
(b) Encontre um vetor no qual a taxa de variação direcional seja nula
(c) Qual a relação entre esse vetor e a curva de nível?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-y^{2} e pede três coisas:
(a) a equação da curva de nível que passa pelo ponto (1,1);
(b) encontrar um vetor para o qual a taxa de variação direcional de f em (1,1) seja nula;
(c) dizer qual é a relação entre esse vetor e a curva de nível.
Informações importantes fornecidas:
\;f(x,y)=x^{2}-y^{2}.\n
\;(1,1) é o ponto por onde a curva de nível deve passar.\n
Nenhuma outra informação adicional foi dada.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar o valor da função em (1,1), porque a curva de nível que passa por (1,1) é o conjunto de pontos onde f tem esse mesmo valor.
Calculemos f(1,1):
f(1,1)=1^{2}-1^{2}=1-1=0.
Portanto a curva de nível que passa por (1,1) é a reunião dos pontos (x,y) tais que f(x,y)=0.

Passo 3

Escrevendo a equação da curva de nível com o valor encontrado:
x^{2}-y^{2}=0.
Vamos manipular essa equação para enxergá-la melhor. Factorizando:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0.
Isto significa que os pontos da curva de nível satisfazem x-y=0 ou x+y=0, ou seja, y=x ou y=-x.
Como queremos a curva de nível que passa por (1,1), devemos escolher o ramo que realmente contém (1,1). Substituindo (1,1) vemos que y=x é o ramo correto (pois 1=1), enquanto y=-x não passa por (1,1). Logo a curva de nível procurada, localmente, é a reta
y=x,
que também pode ser descrita globalmente pela equação \;x^{2}-y^{2}=0.

Passo 4

Agora precisamos entender o que é a “taxa de variação direcional” e como calculá-la. Vou explicar de forma bem direta:
  • A derivada direcional de f no ponto (x_{0},y_{0}) na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) é dada por
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f e o ponto central (x_{0},y_{0}) aparece nos componentes do gradiente.
  • O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Para duas variáveis:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
O gradiente aponta na direção de maior aumento de f e é ortogonal às curvas de nível.
  • Se quisermos que a derivada direcional seja nula, precisamos de um vetor \mathbf{v} tal que \nabla f\cdot \mathbf{v}=0. Se \mathbf{u} for unitário, a condição é \nabla f\cdot \mathbf{u}=0.

Passo 5

Calculemos o gradiente de f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y.
Portanto
\nabla f(x,y)=(2x,\,-2y).
No ponto (1,1) isso dá
\nabla f(1,1)=(2\cdot1,\,-2\cdot1)=(2,\,-2).

Passo 6

Queremos um vetor para o qual a derivada direcional em (1,1) seja zero. Usando a condição de ortogonalidade:
\nabla f(1,1)\cdot \mathbf{v}=0.
Se tomarmos \mathbf{v}=(v_{1},v_{2}) qualquer (não necessariamente unitário), isso vira
(2,\,-2)\cdot (v_{1},v_{2})=2v_{1}-2v_{2}=0.
Logo v_{1}=v_{2}. Qualquer vetor proporcional a (1,1) satisfaz isso. Para fornecer um vetor unitário (pois normalmente a derivada direcional usa vetor unitário), escolhemos
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
Verificação rápida:
\nabla f(1,1)\cdot \mathbf{u}=(2,-2)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}(2-2)=0,
portanto a taxa de variação direcional nessa direção é nula. Também serve qualquer vetor não nulo paralelo a (1,1), por exemplo (1,1) mesmo (quando se usa vetor não-unitário, a derivada direcional considera a normalização; a condição de produto nulo é a mesma).

Passo 7

Agora a relação entre esse vetor e a curva de nível: a curva de nível que passa por (1,1) é y=x. Um vetor tangente a essa curva no ponto (1,1) é justamente (1,1) (ou qualquer múltiplo). Observamos que esse vetor tangente é ortogonal ao gradiente (2,-2), e por isso a derivada direcional ao longo dele é zero.
Intuição final: mover-se ao longo da curva de nível não muda o valor de f, então a taxa de variação de f na direção tangente à curva de nível é zero. O gradiente é perpendicular às curvas de nível e aponta na direção de maior subida; o vetor que torna a derivada direcional nula é tangente à curva de nível.

Resposta

(a) x^{2}-y^{2}=0 (ramo que passa por (1,1): y=x).\n
(b) Por exemplo \mathbf{u}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1) (ou qualquer vetor não nulo paralelo a (1,1)).\n
(c) Esse vetor é tangente à curva de nível em (1,1); é ortogonal ao gradiente \nabla f(1,1)=(2,-2).

Exercícios relacionados