Suponha que o volume de um gás ideal em certo recipiente seja 100 m^{3} e que a temperatura seja 90^{\circ} e k=8.
(a) Ache a taxa de variação de P por unidade de variação de T se V permanece fixo em 100 m^{3}.
(b) Use o resultado da parte (a) para aproximar a variação na pressão, se a temperatura for aumentada para 92^{\circ}.
(c) Ache a taxa de variação de V por unidade de variação em P se T permanece fixa em 90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Dados: V=100\\ \text{m}^3,\qquad T=90^\circ,\qquad k=8.(Estou usando a lei dos gases na forma PV=kT.)
  • Perguntas:
    (a) Achar a taxa de variação de P por unidade de variação de T quando V permanece fixo em \,100\\ \text{m}^3.
    (b) Usar o resultado da parte (a) para aproximar a variação da pressão quando a temperatura aumenta para 92^\circ.
    (c) Achar a taxa de variação de V por unidade de variação em P quando T permanece fixo em 90^\circ.

Passo 2

Modelagem e interpretação da relação entre as variáveis (aulas rápidas antes de derivar).
  • A lei dada é PV=kT.Aqui:
    \,P é a pressão (variável que queremos relacionar),
    \,V é o volume (às vezes fixo),
    \,T é a temperatura,
    e \,k é uma constante dada ( k=8).
  • Se queremos a taxa de variação de P em relação a T com V fixo, interpretamos isso como a derivada parcial \displaystyle\frac{\partial P}{\partial T} com V constante.
  • Para facilitar a diferenciação, isolamos P em função de T e V: P=\frac{kT}{V}.Isso significa que, para volume fixo, P é proporcional a T com constante proporcional \frac{k}{V}.

Passo 3

Cálculo explícito da taxa \displaystyle\frac{\partial P}{\partial T} quando V é fixo.
  • Diferenciando \displaystyle P=\frac{kT}{V} em relação a T, com V constante, usamos a regra básica: se P=aT com a constante então \frac{dP}{dT}=a. Aqui a=\frac{k}{V}. Assim \frac{\partial P}{\partial T}=\frac{k}{V}.
  • Substituindo os valores dados \,k=8 e \,V=100\\ \text{m}^3: \frac{\partial P}{\partial T}=\frac{8}{100}=0,08.Interpretação: quando o volume está fixo em \,100\\ \text{m}^3, a pressão aumenta cerca de 0,08 (unidades de pressão) para cada aumento de 1^\circ na temperatura.

Passo 4

Aproximação da variação de pressão para aumento de temperatura (parte b).
  • Para pequenos incrementos de T, usamos a aproximação linear (diferencial): \Delta P\approx\frac{\partial P}{\partial T}\,\Delta T.
  • Aqui a temperatura sobe de 90^\circ para 92^\circ, logo \Delta T=2^\circ.
  • Usando \displaystyle\frac{\partial P}{\partial T}=0,08: \Delta P\approx 0,08\times 2=0,16.Interpretação: a pressão aumenta aproximadamente 0,16 (unidades de pressão) quando a temperatura sobe de 90^\circ para 92^\circ, com V mantido em 100\\ \text{m}^3.

Passo 5

Cálculo da taxa \displaystyle\frac{dV}{dP} quando T é fixo em 90^\circ (parte c).
  • Isolamos V da lei PV=kT: V=\frac{kT}{P}.Aqui queremos a derivada de V em relação a P com T constante, isto é \displaystyle\frac{dV}{dP}.
  • Diferenciando \displaystyle V=\frac{kT}{P} em relação a P (com kT constante), lembrando que \frac{d}{dP}\left(\frac{C}{P}\right)=-\frac{C}{P^2} para constante C, obtemos: \frac{dV}{dP}=-\frac{kT}{P^2}.
  • Precisamos avaliar essa expressão no estado inicial. Primeiro calculemos a pressão inicial P usando P=\dfrac{kT}{V}: P=\frac{8\cdot 90}{100}=\frac{720}{100}=7,2.
  • Agora calculemos \displaystyle\frac{dV}{dP}: \frac{dV}{dP}=-\frac{8\cdot 90}{(7,2)^2}=-\frac{720}{(7,2)^2}.Para simplificar exatamente, note que 7,2=\frac{36}{5}, então (7,2)^2=\left(\frac{36}{5}\right)^2=\frac{1296}{25}.Assim \frac{dV}{dP}=-\frac{720}{1296/25}=-720\cdot\frac{25}{1296}=-\frac{720}{1296}\cdot 25.Reduzindo \dfrac{720}{1296}=\dfrac{5}{9} (dividindo numerador e denominador por 144), obtemos \frac{dV}{dP}=-\frac{5}{9}\cdot 25=-\frac{125}{9}\approx -13,888\ldots
  • Interpretação: com T fixo em 90^\circ, se a pressão aumenta em 1 (unidade de pressão), o volume diminui cerca de 13,888 m ^3; o sinal negativo indica que V e P mudam em sentidos opostos (quando um sobe, o outro cai).

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\partial P}{\partial T}=\frac{k}{V}=\frac{8}{100}=0,08.
(b) \Delta P\approx 0,08\cdot 2=0,16.
(c) \displaystyle\frac{dV}{dP}=-\frac{kT}{P^2}=-\frac{125}{9}\approx -13,888\ldots\\ \text{m}^3\text{ por unidade de pressão}.ã

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