Suponha que o volume de um gás ideal em certo recipiente seja
e que a temperatura seja
e
.
(a) Ache a taxa de variação de
por unidade de variação de
se
permanece fixo em
.
(b) Use o resultado da parte (a) para aproximar a variação na pressão, se a temperatura for aumentada para
.
(c) Ache a taxa de variação de
por unidade de variação em
se
permanece fixa em
.
(a) Ache a taxa de variação de
(b) Use o resultado da parte (a) para aproximar a variação na pressão, se a temperatura for aumentada para
(c) Ache a taxa de variação de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Dados:
(Estou usando a lei dos gases na forma .) - Perguntas:
(a) Achar a taxa de variação depor unidade de variação de quando permanece fixo em .
(b) Usar o resultado da parte (a) para aproximar a variação da pressão quando a temperatura aumenta para.
(c) Achar a taxa de variação depor unidade de variação em quando permanece fixo em .
Passo 2
Modelagem e interpretação da relação entre as variáveis (aulas rápidas antes de derivar).
- A lei dada é
Aqui:
é a pressão (variável que queremos relacionar),
é o volume (às vezes fixo),
é a temperatura,
eé uma constante dada ( ). - Se queremos a taxa de variação de
em relação a com fixo, interpretamos isso como a derivada parcial com constante. - Para facilitar a diferenciação, isolamos
em função de e : Isso significa que, para volume fixo, é proporcional a com constante proporcional .
Passo 3
Cálculo explícito da taxa
quando
é fixo.
- Diferenciando
em relação a , com constante, usamos a regra básica: se com constante então . Aqui . Assim - Substituindo os valores dados
e : Interpretação: quando o volume está fixo em , a pressão aumenta cerca de (unidades de pressão) para cada aumento de na temperatura.
Passo 4
Aproximação da variação de pressão para aumento de temperatura (parte b).
- Para pequenos incrementos de
, usamos a aproximação linear (diferencial): - Aqui a temperatura sobe de
para , logo . - Usando
: Interpretação: a pressão aumenta aproximadamente (unidades de pressão) quando a temperatura sobe de para , com mantido em .
Passo 5
Cálculo da taxa
quando
é fixo em
(parte c).
- Isolamos
da lei : Aqui queremos a derivada de em relação a com constante, isto é . - Diferenciando
em relação a (com constante), lembrando que para constante , obtemos: - Precisamos avaliar essa expressão no estado inicial. Primeiro calculemos a pressão inicial
usando : - Agora calculemos
: Para simplificar exatamente, note que , então Assim Reduzindo (dividindo numerador e denominador por ), obtemos - Interpretação: com
fixo em , se a pressão aumenta em 1 (unidade de pressão), o volume diminui cerca de m ; o sinal negativo indica que e mudam em sentidos opostos (quando um sobe, o outro cai).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)