Derive.
y=\frac{t}{(t-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{t}{(t-1)^{2}} e pede a derivada de y em relação a t, ou seja calcular \dfrac{dy}{dt}.
Informações importantes: a variável independente é t e a expressão não está definida em t=1 (há uma singularidade).

Passo 2

Vamos reescrever a função de forma que as regras de derivação fiquem claras e fáceis de aplicar. Escrever
y = t\,(t-1)^{-2}.
Aqui estamos usando a igualdade algébrica \dfrac{1}{(t-1)^{2}}=(t-1)^{-2}. Esta forma permite usar a regra do produto e a regra da cadeia/potência. Lembrete das fórmulas que vamos usar:
  • Regra do produto: se y=u(t)\,v(t) então
\frac{dy}{dt}=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
  • Regra da potência (com composição): se v(t)=[g(t)]^{n} então
v'(t)=n\,[g(t)]^{n-1}\cdot g'(t).
Aqui u'(t) e g'(t) são as derivadas de u e g em relação a t.

Passo 3

Identificar as funções do produto:
u(t)=t,\qquad v(t)=(t-1)^{-2}.
Calcular as derivadas parciais:
u'(t)=1,
e, aplicando a regra da potência com g(t)=t-1 e n=-2,
v'(t)=-2\,(t-1)^{-3}\cdot (t-1)' = -2\,(t-1)^{-3}\cdot 1 = -2\,(t-1)^{-3}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
\frac{dy}{dt}=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t)=1\cdot (t-1)^{-2} + t\cdot\bigl(-2\,(t-1)^{-3}\bigr).
Agora simplificar a expressão. Colocando em fator comum (t-1)^{-3}:
\frac{dy}{dt}=(t-1)^{-3}\bigl[(t-1) -2t\bigr].
Calcular o parêntese:
(t-1)-2t = t-1-2t = -t-1 = -(t+1).
Portanto
\frac{dy}{dt}=-(t+1)(t-1)^{-3}.
Reescrevendo com potências positivas no denominador:
\frac{dy}{dt}=-\dfrac{t+1}{(t-1)^{3}}.

Passo 5

Verificação rápida (opcional): usando a regra do quociente em \dfrac{t}{(t-1)^2} tem-se
\frac{dy}{dt}=\frac{(t-1)^2\cdot 1 - t\cdot 2(t-1)\cdot 1}{(t-1)^4} =\frac{(t-1)\bigl[(t-1)-2t\bigr]}{(t-1)^4} =\frac{(t-1)\bigl(-t-1\bigr)}{(t-1)^4} =-\dfrac{t+1}{(t-1)^3},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

-\dfrac{t+1}{(t-1)^3}

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