Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x>0 para os quais a série converge:
1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\ldots=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \quad(0!=1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, para x>0, os valores de x em que a série
1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}
converge. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Denotando
a_{k} = \frac{x^{k}}{k!},
o teste da razão diz que devemos calcular
L = \lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}}
e verificar se L<1 (convergência), L>1 (divergência) ou L=1 (teste inconclusivo).

Passo 3

Calculando a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{\displaystyle \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}{\displaystyle \frac{x^{k}}{k!}} = \frac{x^{k+1}}{(k+1)\,k!}\,\frac{k!}{x^{k}} = \frac{x}{k+1}.
Logo,
L = \lim_{k\to\infty}\frac{x}{k+1} = 0.

Passo 4

Como L = 0 < 1 para todo x>0, o teste da razão garante que a série converge para qualquer valor de x>0.

Resposta

A série converge para todo x>0.

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