Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função , especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar).
f(x)=l4+raiz25-x^2 se -5 <= x <= 5 4 se x<-5 ou x>5

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 4+raiz25-x^2,&-5<= x<= 5, 4,&x< -5 ou x>5,
e pede que a gente esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e verifique se f é par ou ímpar. O conteúdo é análise de funções definidas por partes, identificação de semicírculo e estudo de paridade.

Passo 2

Para achar o domínio de , basta ver para quais cada expressão está definida. A raiz exige , ou seja , e a outra parte está definida para ou . Assim não há lacunas no eixo real, logo
.

Passo 3

O gráfico de y=4+raiz25-x^2 para -5<= x<=5 é a metade superior de um círculo de raio 5 centrado em (0,4), pois satisfaz
x^2+(y-4)^2=25, y>=4
Para x<-5 e x>5 a função vale sempre 4, ou seja, há uma reta horizontal y=4 que se conecta de modo contínuo nos pontos (-5,4) e (5,4) às extremidades do semicírculo.

Passo 4

A imagem de f vai do valor mínimo até o máximo. No semicírculo raiz25-x^2 varia entre 0 e 5, então 4+raiz25-x^2 varia entre 4 e 9. Como fora do intervalo [-5,5] f(x)=4, o valor 4 já aparece também ali. Logo a imagem de f é [4,9].

Passo 5

Para testar a paridade calculamos f(-x). Se -5<= -x<=5 então xin[-5,5] e
f(-x)=4+raiz25-(-x)^2=4+raiz25-x^2=f(x)
Se x está fora de [-5,5], então -x também está fora, e em ambos f(x)=4. Assim f(-x)=f(x) para todo x, ou seja, f é uma função par.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [4,9]
Paridade: f é par.

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