Questão 3. (40 pontos) Seja
Dê o que é pedido:
(i) (2 pontos) O domínio de f.
(ii) (3 pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de
.
(iii) (2 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de
.
(iv) (5 pontos)
.
(v) (2 pontos) Os pontos críticos de f.
(vi) (5 pontos) Os intervalos onde
é crescente e os intervalos onde
édecrescente.
(vii) (5 pontos) Os pontos de máximo e de mínimo de
.
(viii) (3 pontos) Os pontos de inflexão de
.
(ix) (5 pontos) Sabendo que
os intervalos onde
é côncava para cima e os intervalos onde
é côncava para baixo.
(x) (8 pontos) Desenhe o gráfico de
.
(i) (2 pontos) O domínio de f.
(ii) (3 pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de
(iii) (2 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de
(iv) (5 pontos)
(v) (2 pontos) Os pontos críticos de f.
(vi) (5 pontos) Os intervalos onde
(vii) (5 pontos) Os pontos de máximo e de mínimo de
(viii) (3 pontos) Os pontos de inflexão de
(ix) (5 pontos) Sabendo que
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e pede (i) domínio, (ii) assíntotas verticais, (iii) horizontais, (iv) derivada, (v) pontos críticos, (vi) monotonicidade, (vii) extremos, (viii) pontos de inflexão, (ix) concavidade e (x) esboço do gráfico. Vamos usar conceito de raízes do denominador, limite no infinito, regras de derivação e sinal de
e
.
Passo 2
O domínio de
são todos os
tais que o denominador
não se anule. Logo
Passo 3
A única assíntota vertical surge de
, isto é,
Passo 4
Como o grau do numerador e do denominador é 2, a assíntota horizontal é
ou seja,
.
Passo 5
Para obter
usamos a regra do quociente. Calculando e simplificando, chega-se a
Passo 6
Os pontos críticos são onde
ou indefinida (mas no domínio). Temos
para
. Em
é indefinida, mas
não está no domínio. Logo o único ponto crítico é
Passo 7
Analisando o sinal de
vemos:
- Em
: numerador positivo, denominador negativo (decrescente). - Em
: numerador negativo, denominador negativo (crescente). - Em
: numerador negativo, denominador positivo (decrescente).
Passo 8
No ponto crítico
passa de negativa a positiva, indicando mínimo local. Não há máximo local. O valor é
Passo 9
Para inflexão resolvemos
com
O numerador zera em
ou
. Como
não está no domínio, o ponto de inflexão é
Passo 10
Estudando o sinal de
:
- Em
: côncava para baixo. - Em
: côncava para cima. - Em
: côncava para cima.
Passo 11
Esboçando o gráfico:
- Há assíntotas
(vertical) e (horizontal). - De
a decresce passando de para . - De
a cresce de até . - De
a decresce de para . - Ponto de inflexão em
muda a concavidade de para baixo para cima.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi) Decrescente em e
, crescente em
(vii) Mínimo local em , sem máximo local
(viii) Inflexão em
(ix) Côncava para baixo em , côncava para cima em
e
(x) Gráfico conforme esboço no Passo 11.
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi) Decrescente em
(vii) Mínimo local em
(viii) Inflexão em
(ix) Côncava para baixo em
(x) Gráfico conforme esboço no Passo 11.