Questão 3. (40 pontos) Seja
f(x)=2 x^2+1x^2-2 x+1
Dê o que é pedido:
(i) (2 pontos) O domínio de f.
(ii) (3 pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de f.
(iii) (2 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de f.
(iv) (5 pontos) f^prime(x).
(v) (2 pontos) Os pontos críticos de f.
(vi) (5 pontos) Os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f édecrescente.
(vii) (5 pontos) Os pontos de máximo e de mínimo de f.
(viii) (3 pontos) Os pontos de inflexão de f.
(ix) (5 pontos) Sabendo que
f^prime prime(x)=8 x^2+2 x-10(x-1)^5 os intervalos onde f é côncava para cima e os intervalos onde f é côncava para baixo.
(x) (8 pontos) Desenhe o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=2x^2+1x^2-2x+1=2x^2+1(x-1)^2
e pede (i) domínio, (ii) assíntotas verticais, (iii) horizontais, (iv) derivada, (v) pontos críticos, (vi) monotonicidade, (vii) extremos, (viii) pontos de inflexão, (ix) concavidade e (x) esboço do gráfico. Vamos usar conceito de raízes do denominador, limite no infinito, regras de derivação e sinal de f' e f''.

Passo 2

O domínio de f são todos os x tais que o denominador (x-1)^2 não se anule. Logo
Dom(f)=Rsetminus1

Passo 3

A única assíntota vertical surge de x-1=0, isto é,
x=1

Passo 4

Como o grau do numerador e do denominador é 2, a assíntota horizontal é
y=coeficiente de x^2 no numeradorcoeficiente de x^2 no denominador= 21=2,
ou seja, y=2.

Passo 5

Para obter f'(x) usamos a regra do quociente. Calculando e simplificando, chega-se a
f'(x)=-4x^2+2x+2(x-1)^4 =-2,(2x+1)(x-1)^3

Passo 6

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou indefinida (mas no domínio). Temos f'(x)=0 para 2x+1=0Rightarrow x=-tfrac12. Em x=1 f' é indefinida, mas x=1 não está no domínio. Logo o único ponto crítico é
x=-tfrac12

Passo 7

Analisando o sinal de
f'(x)=-2,(2x+1)/(x-1)^3,
vemos:
  • Em (-infty,-tfrac12): numerador positivo, denominador negativo ;Rightarrow f'<0 (decrescente).
  • Em (-tfrac12,1): numerador negativo, denominador negativo ;Rightarrow f'>0 (crescente).
  • Em (1,infty): numerador negativo, denominador positivo ;Rightarrow f'<0 (decrescente).

Passo 8

No ponto crítico x=-tfrac12 f' passa de negativa a positiva, indicando mínimo local. Não há máximo local. O valor é
fl(-tfrac12r) =2cdot(tfrac14)+1(,-tfrac12-1)^2 =tfrac12+1(,-tfrac32)^2 =tfrac32tfrac94 =tfrac65

Passo 9

Para inflexão resolvemos f''(x)=0 com
f''(x)=8x^2+2x-10(x-1)^5
O numerador zera em 8x^2+2x-10=0Rightarrow x=-tfrac54 ou x=1. Como x=1 não está no domínio, o ponto de inflexão é
x=-tfrac54, fl(-tfrac54r) =2cdot(tfrac2516)+1(,-tfrac54-1)^2 =tfrac338tfrac8116 =tfrac2227

Passo 10

Estudando o sinal de f'':
  • Em (-infty,-tfrac54): f''<0 Rightarrow côncava para baixo.
  • Em (-tfrac54,1): f''>0 Rightarrow côncava para cima.
  • Em (1,infty): f''>0 Rightarrow côncava para cima.

Passo 11

Esboçando o gráfico:
  • Há assíntotas x=1 (vertical) e y=2 (horizontal).
  • De -infty a -tfrac12 f decresce passando de yto2 para y=tfrac65.
  • De -tfrac12 a 1 f cresce de tfrac65 até +infty.
  • De 1 a +infty f decresce de +infty para 2.
  • Ponto de inflexão em l(-tfrac54,tfrac2227r) muda a concavidade de para baixo para cima.

Resposta

(i) Rsetminus1
(ii) x=1
(iii) y=2
(iv) f'(x)=-2,(2x+1)/(x-1)^3
(v) x=-tfrac12
(vi) Decrescente em (-infty,-tfrac12) e (1,infty), crescente em (-tfrac12,1)
(vii) Mínimo local em l(-tfrac12,tfrac65r), sem máximo local
(viii) Inflexão em l(-tfrac54,tfrac2227r)
(ix) Côncava para baixo em (-infty,-tfrac54), côncava para cima em (-tfrac54,1) e (1,infty)
(x) Gráfico conforme esboço no Passo 11.

Exercícios relacionados