Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função , especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar).
g(x)=|3-x|+|x-1|

Passo 1

O enunciado pede que você esboce o gráfico da função g(x)=|3-x|+|x-1| e que, além disso, sejam especificados:
  • o domínio da função;
  • a imagem (intervalo de valores que a função atinge);
  • a paridade (se é par, ímpar ou nenhuma das anteriores).
Informações dadas no enunciado:
  • a expressão explícita da função é g(x)=|3-x|+|x-1|;
  • há valores de x que anulam os argumentos dos módulos: 3-x=0 em x=3 e x-1=0 em x=1. (Esses pontos são relevantes para dividir a análise em regiões.)

Passo 2

Vamos lembrar o que significa a função módulo e como transformá-la em expressões sem módulo, porque isso facilita desenhar o gráfico passo a passo.
Definição prática do módulo para uma expressão linear A\): \[|A| = \begin{cases} A, & \text{se } A \ge 0,\\[4pt] - A, & \text{se } A < 0. \end{cases}
Aplicando essa ideia a expressões do tipo |x-a|\], temos \[|x-a| = \begin{cases} x-a, & \text{se } x \ge a,\\[4pt] a-x, & \text{se } x < a. \end{cases}\] Isso significa que, para resolver \(g(x)=|3-x|+|x-1|, vamos olhar para os sinais de 3-x e x-1, que mudam em x=3 e x=1. Esses pontos nos dão as regiões naturais para analisar a função.]

Passo 3

Determinar as regiões (ordenadas dos pontos críticos):
  • Região 1: x \le 1 (aqui x-1 \le 0 e 3-x>0);
  • Região 2: 1 \le x \le 3 (aqui x-1 \ge 0 e 3-x \ge 0);
  • Região 3: x \ge 3 (aqui x-1 \ge 0 e 3-x \le 0).
Em cada região substituiremos os módulos por expressões lineares sem módulo, usando a regra do passo anterior.

Passo 4

Analisar a região x \le 1.
Nessa região temos 3-x \ge 0 e x-1 \le 0. Logo
|3-x| = 3-x,\qquad |x-1| = 1-x.
Somando:
g(x) = (3-x)+(1-x)=4-2x.
Portanto, para x \le 1 a função é a reta g(x) = -2x+4. Observações úteis:
  • Valor em x=1: g(1) = -2\cdot 1 + 4 = 2.
  • Quando x\to -\infty, g(x)\to +\infty (porque o termo -2x cresce para +\infty).
  • A reta tem inclinação -2, ou seja, decresce quando x aumenta nessa região.

Passo 5

Analisar a região 1 \le x \le 3.
Aqui 3-x \ge 0 e x-1 \ge 0. Então
|3-x| = 3-x,\qquad |x-1| = x-1.
Somando:
g(x) = (3-x)+(x-1)=2.
Portanto, para 1 \le x \le 3 a função é constante e igual a 2. Observações:
  • Em toda a faixa [1,3] temos o mesmo valor g(x)=2, ou seja, um “chão” plano no gráfico.
  • Nos pontos x=1 e x=3 o valor é 2, compatível com os limites das regiões contíguas.

Passo 6

Analisar a região x \ge 3.
Aqui 3-x \le 0 e x-1 \ge 0. Logo
|3-x| = x-3,\qquad |x-1| = x-1.
Somando:
g(x) = (x-3)+(x-1)=2x-4.
Portanto, para x \ge 3 a função é a reta g(x)=2x-4. Observações:
  • Valor em x=3: g(3)=2\cdot 3 - 4 = 2, concordando com a região anterior.
  • Quando x\to +\infty, g(x)\to +\infty.
  • A reta tem inclinação +2, ou seja, cresce quando x aumenta nessa região.

Passo 7

Montagem completa da expressão por partes e interpretação gráfica.
Unindo os resultados das três regiões, obtemos a forma peça-a-peça:
g(x)=\begin{cases} -2x+4, & x\le 1,\\[4pt] 2, & 1\le x\le 3,\\[4pt] 2x-4, & x\ge 3. \end{cases}
Características do gráfico:
  • Para x\le 1 é uma reta decrescente com inclinação -2 que chega ao ponto (1,2).
  • Entre x=1 e x=3 o gráfico é uma linha horizontal no nível y=2.
  • Para x\ge 3 é uma reta crescente com inclinação +2 que parte de (3,2).
  • O gráfico é contínuo (os segmentos se unem sem saltos) e tem um trecho mínimo plano em y=2 no intervalo [1,3].
  • Interseções: o intercepto em y (quando x=0) é g(0)=4. Não há raízes reais de g(x)=0 porque o valor mínimo é 2>0.]

Passo 8

Determinar domínio, imagem e paridade (com justificativas rápidas).
  • Domínio: não há restrição na expressão (módulo é definido para todo real), então o domínio é \mathbb{R}.
  • Imagem (intervalo): a função atinge o valor mínimo 2 em todo o intervalo [1,3] e tende a +\infty quando x\to\pm\infty. Logo a imagem é [2,\infty).
  • Paridade: para verificar se é par ou ímpar, compare g(-x) com g(x). Por exemplo,
g(1)=2,\qquad g(-1)=|3-(-1)|+|-1-1|=|4|+| -2|=4+2=6,
portanto g(-1)\neq g(1), então não é par. Também não pode ser ímpar porque g(x)\ge 2 para todo x (um função ímpar teria g(0)=0 e valores simétricos negativos), logo a função é nenhuma das duas (nem par nem ímpar).

Passo 9

Como esboçar rapidamente no papel durante a prova (dica prática):
  • Marque os pontos críticos x=1 e x=3 no eixo x.
  • No intervalo (-\infty,1] desenhe a reta com inclinação -2 passando por (1,2).
  • Trace o segmento horizontal em y=2 entre x=1 e x=3.
  • Para [3,\infty) desenhe a reta com inclinação +2 partindo de (3,2).
  • Indique setas para +\infty nos extremos, já que o gráfico cresce para ambos os lados fora do trecho central.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [2,\infty)
Paridade: nem par nem ímpar

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