Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função , especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar). g(x)=|3-x|+|x-1|
Passo 1
O enunciado pede que você esboce o gráfico da função g(x)=|3-x|+|x-1| e que, além disso, sejam especificados:
o domínio da função;
a imagem (intervalo de valores que a função atinge);
a paridade (se é par, ímpar ou nenhuma das anteriores).
Informações dadas no enunciado:
a expressão explícita da função é g(x)=|3-x|+|x-1|;
há valores de x que anulam os argumentos dos módulos: 3-x=0 em x=3 e x-1=0 em x=1. (Esses pontos são relevantes para dividir a análise em regiões.)
Passo 2
Vamos lembrar o que significa a função módulo e como transformá-la em expressões sem módulo, porque isso facilita desenhar o gráfico passo a passo.
Definição prática do módulo para uma expressão linear A\):
\[|A| = \begin{cases} A, & \text{se } A \ge 0,\\[4pt] - A, & \text{se } A < 0. \end{cases}
Aplicando essa ideia a expressões do tipo |x-a|\], temos
\[|x-a| = \begin{cases} x-a, & \text{se } x \ge a,\\[4pt] a-x, & \text{se } x < a. \end{cases}\]
Isso significa que, para resolver \(g(x)=|3-x|+|x-1|, vamos olhar para os sinais de 3-x e x-1, que mudam em x=3 e x=1. Esses pontos nos dão as regiões naturais para analisar a função.]
Passo 3
Determinar as regiões (ordenadas dos pontos críticos):
Região 1: x \le 1 (aqui x-1 \le 0 e 3-x>0);
Região 2: 1 \le x \le 3 (aqui x-1 \ge 0 e 3-x \ge 0);
Região 3: x \ge 3 (aqui x-1 \ge 0 e 3-x \le 0).
Em cada região substituiremos os módulos por expressões lineares sem módulo, usando a regra do passo anterior.
Passo 4
Analisar a região x \le 1.
Nessa região temos 3-x \ge 0 e x-1 \le 0. Logo
|3-x| = 3-x,\qquad |x-1| = 1-x.
Somando:
g(x) = (3-x)+(1-x)=4-2x.
Portanto, para x \le 1 a função é a reta g(x) = -2x+4. Observações úteis:
Valor em x=1: g(1) = -2\cdot 1 + 4 = 2.
Quando x\to -\infty, g(x)\to +\infty (porque o termo -2x cresce para +\infty).
A reta tem inclinação -2, ou seja, decresce quando x aumenta nessa região.
Passo 5
Analisar a região 1 \le x \le 3.
Aqui 3-x \ge 0 e x-1 \ge 0. Então
|3-x| = 3-x,\qquad |x-1| = x-1.
Somando:
g(x) = (3-x)+(x-1)=2.
Portanto, para 1 \le x \le 3 a função é constante e igual a 2. Observações:
Em toda a faixa [1,3] temos o mesmo valor g(x)=2, ou seja, um “chão” plano no gráfico.
Nos pontos x=1 e x=3 o valor é 2, compatível com os limites das regiões contíguas.
Passo 6
Analisar a região x \ge 3.
Aqui 3-x \le 0 e x-1 \ge 0. Logo
|3-x| = x-3,\qquad |x-1| = x-1.
Somando:
g(x) = (x-3)+(x-1)=2x-4.
Portanto, para x \ge 3 a função é a reta g(x)=2x-4. Observações:
Valor em x=3: g(3)=2\cdot 3 - 4 = 2, concordando com a região anterior.
Quando x\to +\infty, g(x)\to +\infty.
A reta tem inclinação +2, ou seja, cresce quando x aumenta nessa região.
Passo 7
Montagem completa da expressão por partes e interpretação gráfica.
Unindo os resultados das três regiões, obtemos a forma peça-a-peça:
portanto g(-1)\neq g(1), então não é par. Também não pode ser ímpar porque g(x)\ge 2 para todo x (um função ímpar teria g(0)=0 e valores simétricos negativos), logo a função é nenhuma das duas (nem par nem ímpar).
Passo 9
Como esboçar rapidamente no papel durante a prova (dica prática):
Marque os pontos críticos x=1 e x=3 no eixo x.
No intervalo (-\infty,1] desenhe a reta com inclinação -2 passando por (1,2).
Trace o segmento horizontal em y=2 entre x=1 e x=3.
Para [3,\infty) desenhe a reta com inclinação +2 partindo de (3,2).
Indique setas para +\infty nos extremos, já que o gráfico cresce para ambos os lados fora do trecho central.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [2,\infty)
Paridade: nem par nem ímpar