Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{\cos \left[(y-1)^{2}+x^{2}\right]-y}{x-1} é igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite de
\frac{\cos\bigl[(y-1)^{2}+x^{2}\bigr] - y}{x - 1}
quando (x,y)\to(0,1). O conteúdo é cálculo de limite de função de duas variáveis, e vamos usar a ideia de que, se o numerador tende a zero e o denominador tende a um número não nulo, o limite é zero dividido por esse número.

Passo 2

Verificamos os limites das partes separadamente. Quando (x,y)\to(0,1) temos
(y-1)^{2} + x^{2} \;\longrightarrow\; 0 \quad\text{e}\quad y \;\longrightarrow\; 1,
logo
\cos\bigl[(y-1)^{2} + x^{2}\bigr]\;\longrightarrow\;\cos(0)=1.
Assim, o numerador tende a
1 - 1 = 0.

Passo 3

O denominador x-1 tende a
0 - 1 = -1,
que é diferente de zero.

Passo 4

Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a -1\neq 0, o quociente tende a
\frac{0}{-1} = 0.

Resposta

A afirmação é verdadeira:
\lim_{(x,y)\to(0,1)} \frac{\cos\bigl[(y-1)^{2}+x^{2}\bigr] - y}{x - 1} = 0.

Exercícios relacionados