Nos exercícios abaixo, escreva a equação diferencial em função da equação auxiliar e resolva-a encontrando as raízes e substituindo-as no CASO mais apropriado. Em seguida, resolva a parte não-homogênea da equação diferencial para compor a solução geral.
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
y^prime prime+4 y=-2, y(pi / 8)=1 / 2, y^prime(pi / 8)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação do tipo $ y’’ + 4y = -2 $ com condições iniciais específicas. Nesse tipo de problema, vamos lidar com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, uma solução particular da equação completa e, por fim, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, vamos considerar a equação sem o termo constante:
y'' + 4y = 0
Para resolver isso, usamos a equação característica, que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. Substituímos $ y $ por $ e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante a ser determinada:
y

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de $ r $:
r
Como as raízes são imaginárias (envolvem o número $ i $), a solução geral da parte homogênea será:
r^2 = -4 r = pm 2i
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa $ y’’ + 4y = -2 $. Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também sendo constante. Suponha que:
y'' + 4y = -2
Onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.

Passo 5

Substituímos $ y_p = A $ na equação original:
yp = A
Então, nossa solução particular é:
0 + 4A = -2 4A = -2 A = -12

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp = C1 cos(2t) + C2 sin(2t) - 12

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. As condições são:
C1
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(t) $:
C2

Passo 8

Aplicando a primeira condição $ y\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} $:
y(pi8) = 12
Sabendo que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, substituímos:
C1 cos(pi4) + C2 sin(pi4) - 12 = 12
Simplificando:
cos(pi4) = sin(pi4) = raiz22

Passo 9

Agora, aplicamos a segunda condição $ y’\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2 $:
y'(pi8) = 2
Substituindo $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $:
-2C1 sin(pi4) + 2C2 cos(pi4) = 2
Dividindo ambos os lados por $ \sqrt{2} $:
sin(pi4)

Passo 10

Agora temos um sistema de equações:
C1 + C2 = raiz2 - C1 + C2 = raiz2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(C1 + C2) - (-C1 + C2) = raiz2 - raiz2 2C1 = 0 C1 = 0
Substituindo $ C_1 = 0 $ na primeira equação:
C1 = 0

Resposta

Substituindo $ C_1 = 0 $ e $ C_2 = \sqrt{2} $ na solução geral, temos:
C1 = 0

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