Nos exercícios abaixo, escreva a equação diferencial em função da equação auxiliar e resolva-a encontrando as raízes e substituindo-as no CASO mais apropriado. Em seguida, resolva a parte não-homogênea da equação diferencial para compor a solução geral.
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação do tipo $ y’’ + 4y = -2 $ com condições iniciais específicas. Nesse tipo de problema, vamos lidar com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, uma solução particular da equação completa e, por fim, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, vamos considerar a equação sem o termo constante:
Para resolver isso, usamos a equação característica, que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. Substituímos $ y $ por $ e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante a ser determinada:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de $ r $:
Como as raízes são imaginárias (envolvem o número $ i $), a solução geral da parte homogênea será:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa $ y’’ + 4y = -2 $. Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também sendo constante. Suponha que:
Onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.
Passo 5
Substituímos $ y_p = A $ na equação original:
Então, nossa solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. As condições são:
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(t) $:
Passo 8
Aplicando a primeira condição $ y\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} $:
Sabendo que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, substituímos:
Simplificando:
Passo 9
Agora, aplicamos a segunda condição $ y’\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2 $:
Substituindo $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $:
Dividindo ambos os lados por $ \sqrt{2} $:
Passo 10
Agora temos um sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo $ C_1 = 0 $ na primeira equação:
Resposta
Substituindo $ C_1 = 0 $ e $ C_2 = \sqrt{2} $ na solução geral, temos: