1. Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
sumn=0^infty (n!)^k(k n)! x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série
sumn=0^infty(n!)^k(kn)!,x^n
com k inteiro positivo. Vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Seja
an = (n!)^k(kn)!
Calculamos
an+1an = ((n+1)!)^k(k(n+1))! (n!)^k(kn)! = (n+1)^k(kn+1)(kn+2)cdots(kn+k)

Passo 3

Para n grande temos (n+1)^ksim n^k e cada fator (kn+j)sim kn. Logo
(kn+1)(kn+2)cdots(kn+k)sim (kn)^k=k^kn^k

Passo 4

Dessa forma
limntoinftyan+1an = 1k^k

Passo 5

Pelo teste da razão, o raio de convergência R é
R = limntoinfty|anan+1| = k^k

Resposta

R = k^k

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