Dos exercícios abaixo, retirados do livro texto, faça os exercícios impares
f(r)=41+r^2-raiz[5]r^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(r)=41+r^2 ;-;raiz[5]r^4
O conteúdo aqui é derivação de uma função composta: um quociente tfrac41+r^2 (que podemos reescrever como potência negativa) e uma potência fracionária l(r^4r)^1/5=r^4/5. Vamos usar a regra da cadeia e a regra do poder.

Passo 2

Reescrevemos o primeiro termo como
41+r^2=4,(1+r^2)^-1
Aplicando a regra da cadeia:
– A derivada de u^-1 em relação a u é -1,u^-2.
– Aqui u=1+r^2, logo u'=2r.
Portanto
ddrl[4,(1+r^2)^-1r] =4;l(-1r),(1+r^2)^-2,cdot(2r) =-8r(1+r^2)^2

Passo 3

O segundo termo é
raiz[5]r^4=(r^4)^1/5=r^4/5
Pela regra do poder, a derivada de r^4/5 é
ddrl[r^4/5r] =45,r^4/5-1 =45,r^-1/5

Passo 4

Juntando os resultados e lembrando do sinal menos que já vem no enunciado, temos
f'(r) =-8r(1+r^2)^2 ;-;45,r^-1/5

Resposta

f'(r) =-8r(1+r^2)^2 -45,r^-1/5

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