Aplicando o método de integração por partes, calcule:
integral(x+3)^2 x^3 / 4 d x.

Passo 1

Estamos pedindo integral (x+3)^2x^3/4,dx. O enunciado indica usar o método de integração por partes, cujo teorema diz
integral u,dv = u,v - integral v,du
Precisamos escolher u e dv de modo a simplificar a integral restante.

Passo 2

Escolhemos
u = (x+3)^2, dv = x^3/4,dx
Então
du = 2(x+3),dx, v = integral x^3/4,dx = 47,x^7/4

Passo 3

Aplicando o teorema de partes,
integral (x+3)^2x^3/4,dx = u,v - integral v,du = 47(x+3)^2x^7/4 - integral 47x^7/4,2(x+3),dx
Fatorando constantes,
= 47(x+3)^2x^7/4 - 87integral x^7/4(x+3),dx

Passo 4

Expandimos o integrando
x^7/4(x+3) = x^11/4 + 3,x^7/4
e integramos termo a termo:
integral x^11/4,dx = 415,x^15/4, integral x^7/4,dx = 411,x^11/4
Logo,
87integrall(x^11/4+3x^7/4r),dx = 87l(415x^15/4 + 3cdot411x^11/4r) = 32105x^15/4 + 9677x^11/4

Passo 5

Substituindo de volta,
integral (x+3)^2x^3/4,dx = 47(x+3)^2x^7/4 - l(32105x^15/4 + 9677x^11/4r) + C
Podemos ainda expandir e combinar coeficientes para ficar em potências simples de x. O resultado final é
boxed 415,x^15/4 +2411,x^11/4 +367,x^7/4 + C

Resposta

415,x^15/4 +2411,x^11/4 +367,x^7/4 + C

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