Aplicando o método de integração por partes, calcule:
integral(x^2+3 x)(x+2)^-5 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral (x^2+3x),(x+2)^-5,dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e escolher u de modo a simplificar a parte algébrica e dv de modo a facilitar o cálculo de v.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2+3x, dv = (x+2)^-5,dx
Então
du = (2x+3),dx, v = integral (x+2)^-5,dx = (x+2)^-4-4

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral (x^2+3x),(x+2)^-5,dx = u,v - integral v,du = -x^2+3x4,(x+2)^4 - integral l(-(x+2)^-44r),(2x+3),dx
Ou seja,
integral (x^2+3x),(x+2)^-5,dx = -x^2+3x4,(x+2)^4 +14integral (2x+3),(x+2)^-4,dx

Passo 4

Para calcular integral (2x+3),(x+2)^-4,dx, note que
2x+3 = 2(x+2)-1,
logo
(2x+3),(x+2)^-4 = 2(x+2),(x+2)^-4 - (x+2)^-4 = 2,(x+2)^-3 - (x+2)^-4
Assim
integral (2x+3),(x+2)^-4,dx = 2integral (x+2)^-3,dx - integral (x+2)^-4,dx

Passo 5

Calculamos essas duas integrais simples:
integral (x+2)^-3,dx = (x+2)^-2-2, integral (x+2)^-4,dx = (x+2)^-3-3
Logo
integral (2x+3),(x+2)^-4,dx = 2cdot(x+2)^-2-2 - (x+2)^-3-3 = - (x+2)^-2 + (x+2)^-33

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 3,
integral (x^2+3x),(x+2)^-5,dx = -x^2+3x4,(x+2)^4 +14l[- (x+2)^-2 + (x+2)^-33r] + C
Colocando em denominação comum e simplificando, obtém-se
-3x^2+10x+56,(x+2)^4 + C

Resposta

integral (x^2+3x),(x+2)^-5,dx = -3x^2+10x+56,(x+2)^4 + C

Exercícios relacionados