Nos exercícios abaixo x e y são funções de uma terceira variável t.
Se x^{2}+y^{2}=25 e \frac{d y}{d t}=4, ache \frac{d x}{d t} quando x=3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • x e y são funções de uma terceira variável t.
  • A relação entre x e y é \,x^{2}+y^{2}=25\,.
  • Foi dado \displaystyle \frac{dy}{dt}=4.
  • Pede-se \displaystyle \frac{dx}{dt} no instante em que \,x=3.
Observação: o enunciado não especifica o sinal de y quando x=3; isso pode gerar mais de uma resposta numérica. Vou descobrir os possíveis valores de y compatíveis com a primeira relação e usar todos eles.

Passo 2

Vamos diferenciar a igualdade \,x^{2}+y^{2}=25\, em relação a t.
Explicando a ideia: quando temos uma igualdade que envolve variáveis que dependem de t, podemos derivar termo a termo em relação a t. Para uma função composta como x(t)^{2}, usamos a regra da cadeia: a derivada de u(t)^{2} é 2u(t)\cdot u'(t). Aqui u(t)=x(t) e u'(t)=\frac{dx}{dt}.
Aplicando isso termo a termo:
  • A derivada de \,x^{2} em relação a t é \,2x\frac{dx}{dt}.
  • A derivada de \,y^{2} em relação a t é \,2y\frac{dy}{dt}.
  • A derivada de \,25 (constante) é 0.

Passo 3

Escrevendo a derivada completa obtemos
2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0.
Expliquei antes: cada termo foi tratado com a regra da cadeia; o lado direito é zero porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Isolando \displaystyle \frac{dx}{dt}:
Primeiro podemos dividir toda a igualdade por 2 (isso é permitido):
x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0.
Agora isolamos \displaystyle \frac{dx}{dt}:
x\frac{dx}{dt}=-y\frac{dy}{dt}
\frac{dx}{dt}=-\frac{y}{x}\frac{dy}{dt}.
Observação importante: dividir por x é legal aqui porque no ponto pedido x=3\neq 0.

Passo 5

Precisamos do valor de y quando x=3. Usamos a relação inicial \,x^{2}+y^{2}=25.
Substituindo x=3:
3^{2}+y^{2}=25.
9+y^{2}=25.
y^{2}=25-9=16.
Logo
y=\pm 4.
Portanto existem dois pontos no círculo com x=3: (3,4) e (3,-4). Cada um dará um valor possivelmente diferente para \frac{dx}{dt}.

Passo 6

Agora substituímos \displaystyle \frac{dy}{dt}=4, x=3 e os dois possíveis y na fórmula \displaystyle \frac{dx}{dt}=-\frac{y}{x}\frac{dy}{dt}.
Caso y=4:
\frac{dx}{dt}=-\frac{4}{3}\cdot 4.
Calcule passo a passo: \frac{4}{3}\cdot 4=\frac{16}{3}. Com o sinal negativo,
\frac{dx}{dt}=-\frac{16}{3}.
Caso y=-4:
\frac{dx}{dt}=-\frac{-4}{3}\cdot 4.
Aqui -\frac{-4}{3}=\frac{4}{3}, então \frac{4}{3}\cdot 4=\frac{16}{3}. Assim
\frac{dx}{dt}=+\frac{16}{3}.

Passo 7

Interpretação final: com a mesma taxa \frac{dy}{dt}=4 e x=3, o sinal de \frac{dx}{dt} depende do sinal de y no ponto do círculo. Se estamos no ponto (3,4) então \frac{dx}{dt}=-\frac{16}{3}. Se estamos no ponto (3,-4) então \frac{dx}{dt}=+\frac{16}{3}.

Resposta

-\dfrac{16}{3}
\dfrac{16}{3}

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