Nos exercícios abaixo
e
são funções de uma terceira variável
.
Se
e
, ache
quando
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
-
e são funções de uma terceira variável . - A relação entre
e é . - Foi dado
. - Pede-se
no instante em que .
Observação: o enunciado não especifica o sinal de
quando
; isso pode gerar mais de uma resposta numérica. Vou descobrir os possíveis valores de
compatíveis com a primeira relação e usar todos eles.
Passo 2
Vamos diferenciar a igualdade
em relação a
.
Explicando a ideia: quando temos uma igualdade que envolve variáveis que dependem de
, podemos derivar termo a termo em relação a
. Para uma função composta como
, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
e
.
Aplicando isso termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
(constante) é .
Passo 3
Escrevendo a derivada completa obtemos
Expliquei antes: cada termo foi tratado com a regra da cadeia; o lado direito é zero porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Isolando
:
Primeiro podemos dividir toda a igualdade por
(isso é permitido):
Agora isolamos
:
Observação importante: dividir por
é legal aqui porque no ponto pedido
.
Passo 5
Precisamos do valor de
quando
. Usamos a relação inicial
.
Substituindo
:
Logo
Portanto existem dois pontos no círculo com
:
e
. Cada um dará um valor possivelmente diferente para
.
Passo 6
Agora substituímos
,
e os dois possíveis
na fórmula
.
Caso
:
Calcule passo a passo:
. Com o sinal negativo,
Caso
:
Aqui
, então
. Assim
Passo 7
Interpretação final: com a mesma taxa
e
, o sinal de
depende do sinal de
no ponto do círculo. Se estamos no ponto
então
. Se estamos no ponto
então
.