Questão 09
Determine o volume da região limitada pelo paraboloide
e os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o volume da região limitada pelas superfícies abaixo:
e pelos planos
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é um paraboloide que abre para cima e tem vértice em . - Os planos
, e são os planos coordenados que delimitam o primeiro octante. - O plano
é uma face lateral que corta o primeiro octante formando um triângulo na projeção no plano . - Precisamos calcular o volume da região no primeiro octante, limitada lateralmente por
, inferiormente por e superiormente pelo paraboloide .
Passo 2
Decidindo o método: para volumes entre uma superfície superior
e o plano
sobre uma região
do plano
usamos a fórmula
Aqui a “altura” em cada ponto
é
. Portanto vamos projetar a região no plano
e calcular a integral dupla de
sobre essa projeção.
Passo 3
Determinar a projeção
no plano
: como estamos no primeiro octante, temos
,
, e a face lateral dada por
significa
. Logo
que é o triângulo com vértices
,
,
.
Assim o volume é
Passo 4
Escolhendo a ordem de integração: é conveniente integrar primeiro em
(limite superior
) e depois em
(de
a
). Assim
Explico a ideia: fixando
entre
e
,
varia desde a borda
até a borda
, cobrindo todo o triângulo
. Em cada
somamos a altura
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Para função
com
tratado como constante,
Avalia em
:
Passo 6
Agora escrevemos o integrando da integral externa e simplificamos antes de integrar em
. Primeiro desenvolvemos termos:
e
.
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Logo o integrando reduz-se a
Passo 7
Integramos em
de
a
. Uma primitivada é
Agora avaliamos de
a
. Em
:
Calculando passo a passo:
Somando as frações:
Subtraindo
obtemos
Em
a primitiva é
. Portanto
Passo 8
Cheque rápido por outra via (confirmação por simetria): a área do triângulo
é
, então a contribuição do termo constante
é
. Para os termos
e
, por simetria
. Calculamos
Assim
e somando o 2 do termo constante obtemos
confirmando o resultado.