Questão 09

Determine o volume da região limitada pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2}+1 e os planos \mathrm{xy}, \mathrm{yz}, \mathrm{xz} e x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o volume da região limitada pelas superfícies abaixo:
z = x^{2}+y^{2}+1
e pelos planos
\text{plano }xy:\\ z=0,\quad \text{plano }yz:\\ x=0,\quad \text{plano }xz:\\ y=0,\quad \text{plano }x+y=2.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície z=x^{2}+y^{2}+1 é um paraboloide que abre para cima e tem vértice em z=1.
  • Os planos x=0, y=0 e z=0 são os planos coordenados que delimitam o primeiro octante.
  • O plano x+y=2 é uma face lateral que corta o primeiro octante formando um triângulo na projeção no plano xy.
  • Precisamos calcular o volume da região no primeiro octante, limitada lateralmente por x+y=2, inferiormente por z=0 e superiormente pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2}+1.

Passo 2

Decidindo o método: para volumes entre uma superfície superior z=f(x,y) e o plano z=0 sobre uma região D do plano xy usamos a fórmula
\text{Volume}=\iint_{D} \bigl(\text{altura}\bigr)\,dA=\iint_{D} \bigl(f(x,y)-0\bigr)\,dA=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui a “altura” em cada ponto (x,y)\in D é z=x^{2}+y^{2}+1. Portanto vamos projetar a região no plano xy e calcular a integral dupla de x^{2}+y^{2}+1 sobre essa projeção.

Passo 3

Determinar a projeção D no plano xy: como estamos no primeiro octante, temos x\ge0, y\ge0, e a face lateral dada por x+y=2 significa x+y\le2. Logo
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\\ y\ge0,\\ x+y\le2\},
que é o triângulo com vértices (0,0), (2,0), (0,2).
Assim o volume é
V=\iint_{D} \bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)\,dA.

Passo 4

Escolhendo a ordem de integração: é conveniente integrar primeiro em y (limite superior y=2-x) e depois em x (de 0 a 2). Assim
V=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x} \bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)\,dy\,dx.
Explico a ideia: fixando x entre 0 e 2, y varia desde a borda y=0 até a borda y=2-x, cobrindo todo o triângulo D. Em cada (x,y) somamos a altura x^{2}+y^{2}+1.

Passo 5

Calcular a integral interna em y. Para função \varphi(y)=x^{2}+y^{2}+1 com x tratado como constante,
\int_{0}^{2-x} \bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)\,dy = \left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}+y\right]_{y=0}^{y=2-x}.
Avalia em y=2-x:
x^{2}(2-x)+\frac{(2-x)^{3}}{3}+(2-x).

Passo 6

Agora escrevemos o integrando da integral externa e simplificamos antes de integrar em x. Primeiro desenvolvemos termos:
x^{2}(2-x)=2x^{2}-x^{3},
(2-x)^{3}=8-12x+6x^{2}-x^{3},
\frac{(2-x)^{3}}{3}=\frac{8}{3}-4x+2x^{2}-\frac{x^{3}}{3},
e 2-x=2-x.
Somando tudo:
2x^{2}-x^{3}+\left(\frac{8}{3}-4x+2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right)+(2-x).
Agrupando termos semelhantes:
\text{coeficiente de }x^{3}:\\\ -1-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3},
\text{coeficiente de }x^{2}:\\\ 2+2=4,
\text{coeficiente de }x:\\\ -4-1=-5,
\text{constante}:\\ \frac{8}{3}+2=\frac{8+6}{3}=\frac{14}{3}.
Logo o integrando reduz-se a
4x^{2}-\frac{4}{3}x^{3}-5x+\frac{14}{3}.

Passo 7

Integramos em x de 0 a 2. Uma primitivada é
\int\left(4x^{2}-\frac{4}{3}x^{3}-5x+\frac{14}{3}\right)\,dx = \frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{3}x^{4}-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{14}{3}x + C.
Agora avaliamos de 0 a 2. Em x=2:
\frac{4}{3}\cdot 2^{3}-\frac{1}{3}\cdot 2^{4}-\frac{5}{2}\cdot 2^{2}+\frac{14}{3}\cdot 2.
Calculando passo a passo:
\frac{4}{3}\cdot 8=\frac{32}{3},\quad -\frac{1}{3}\cdot16=-\frac{16}{3},\quad -\frac{5}{2}\cdot4=-10,\quad \frac{14}{3}\cdot2=\frac{28}{3}.
Somando as frações:
\frac{32}{3}-\frac{16}{3}+\frac{28}{3}=\frac{44}{3}.
Subtraindo 10=\frac{30}{3} obtemos
\frac{44}{3}-\frac{30}{3}=\frac{14}{3}.
Em x=0 a primitiva é 0. Portanto
V=\frac{14}{3}.

Passo 8

Cheque rápido por outra via (confirmação por simetria): a área do triângulo D é \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2, então a contribuição do termo constante +1 é 2. Para os termos x^{2} e y^{2}, por simetria \iint_{D}x^{2}\,dA=\iint_{D}y^{2}\,dA. Calculamos
\iint_{D} x^{2}\,dA=\int_{0}^{2} x^{2}(2-x)\,dx=\int_{0}^{2}(2x^{2}-x^{3})\,dx =\left[\tfrac{2}{3}x^{3}-\tfrac{1}{4}x^{4}\right]_{0}^{2}=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}.
Assim
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA=2\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{3},
e somando o 2 do termo constante obtemos
V=2+\frac{8}{3}=\frac{14}{3},
confirmando o resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{3}

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