(2 pontos) Uma EDO linear de ordem 2
é dita não homogênea quando a função
não é nula.
(a) Descreva o passo a passo para se encontrar a solução geral de uma EDO como acima.
(b) Utilizando o método de coeficientes indeterminados, encontre a solução geral da EDO
(c) Descreva brevemente o método de variação dos parâmetros e então utilize-o para resolver a mesma EDO do ítem anterior.
(a) Descreva o passo a passo para se encontrar a solução geral de uma EDO como acima.
(b) Utilizando o método de coeficientes indeterminados, encontre a solução geral da EDO
Passo 1
O enunciado dá uma EDO linear de segunda ordem não homogênea
e pede três coisas:
- (a) Descrever passo a passo como encontrar a solução geral de uma EDO desse tipo.
- (b) Usar o método dos coeficientes indeterminados para resolver a EDO concreta
- (c) Descrever brevemente o método da variação dos parâmetros e usá‑lo para resolver a mesma EDO do item (b).
Informações relevantes dadas: a equação geral linear de 2ª ordem e, no caso concreto, os coeficientes constantes
,
e o termo não homogêneo
. A EDO é não homogênea porque
.
Passo 2
Princípio geral (passo a passo) para resolver uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea:
- Resolver a equação homogênea associada
para obter duas soluções linearmente independentes
e
. A combinação linear
é a solução geral homogênea. Explicação: por linearidade, todo espaço de soluções da homogênea é um espaço vetorial de dimensão 2;
formam uma base. Para coeficientes constantes costuma‑se usar a equação característica; veremos isso ao aplicar.
2. Encontrar uma solução particular da equação completa (com
). Existem vários métodos para isso; os principais são:
2. Encontrar uma solução particular
- Método dos coeficientes indeterminados: supor uma forma para
com parâmetros a determinar (funciona quando é combinação de exponenciais, polinômios, senos/cossenos e produtos simples). - Método da variação dos parâmetros: usar a base
da homogênea e procurar com funções a determinar; este método é mais geral (funciona para qualquer ).
- A solução geral da equação não homogênea é
- Observação prática sobre coeficientes indeterminados: se a forma escolhida para
coincide com alguma solução de , multiplica‑se a tentativa por onde é o menor inteiro positivo que elimina a coincidência. - Dica de verificação: sempre substituir
na equação para checar.
Passo 3
Aplicando ao caso concreto — primeiro a parte homogênea (preparação para ambos os métodos):
A equação homogênea associada é
A equação homogênea associada é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolver a quadrática:
Logo
e
(raízes reais distintas). Portanto as duas soluções independentes são
e a solução geral homogênea é
Passo 4
Resolução do item (b) pelo método dos coeficientes indeterminados:
- O termo não homogêneo é
. Para esse tipo de a tentativa padrão é , com constante indeterminada. - Verificar se
é solução da homogênea: as raízes da característica são e , não igual a . Então não há ressonância e a tentativa é adequada. - Calcular derivadas:
- Substituir na equação
:
- Simplificar o lado esquerdo (fatorando
):
- Comparar coeficientes (dividir por
, que não é zero):
- Portanto a solução particular é
. - A solução geral da equação completa é a soma
. Vou colocar a forma final na seção de respostas.
Passo 5
Descrição do método da variação dos parâmetros (breve e didática) e aplicação — item (c):
- Ideia do método: a solução geral homogênea é
- Impomos a condição auxiliar
para simplificar cálculos (isso elimina derivadas de ordem superior de
na expressão de
).
3. Com essa condição, a equação original reduz-se a um sistema linear para e
:
3. Com essa condição, a equação original reduz-se a um sistema linear para
- Resolvendo por determinantes (usando o wronskiano
e então
. Constantes de integração podem ser colocadas nulas porque gerariam parte da solução homogênea. - Aplicando ao nosso caso:
-
, . Calcular o wronskiano:
-
-
. Assim
- Integrando (escolhendo constantes de integração zero):
- Então
- Resultado: o método de variação dos parâmetros dá o mesmo
que encontramos antes, confirmando a solução particular.]
Passo 6
Observação final curta (motivacional e prática):
- Os dois métodos deram a mesma solução particular, como deve ser. O método dos coeficientes indeterminados é mais rápido quando
tem forma adequada; a variação dos parâmetros é mais geral (serve para qualquer ). - Você chegou até aqui! Se tiver pouco tempo para a prova, memorize: resolver homogênea (característica), achar particular (coeficientes ind.) e somar. E pratique algumas substituições rápidas para ganhar velocidade.
Resposta
(a) 1) Resolver a homogênea
e obter duas soluções independentes
. 2) Encontrar uma solução particular
(por coeficientes indeterminados quando
for exponencial/polinomial/seno/cosseno ou por variação dos parâmetros em geral). 3) A solução geral é
.
(b) .
(c) Método (breve): escrever , impor
e resolver o sistema para
com o wronskiano
; integrar e formar
. Aplicando ao caso dado obtém‑se
.
(b)
(c) Método (breve): escrever