(2 pontos) Uma EDO linear de ordem 2
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=g(t)
é dita não homogênea quando a função g(t) não é nula.
(a) Descreva o passo a passo para se encontrar a solução geral de uma EDO como acima.
(b) Utilizando o método de coeficientes indeterminados, encontre a solução geral da EDO
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=e^{2 t}
(c) Descreva brevemente o método de variação dos parâmetros e então utilize-o para resolver a mesma EDO do ítem anterior.

Passo 1

O enunciado dá uma EDO linear de segunda ordem não homogênea
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t),
e pede três coisas:
  1. (a) Descrever passo a passo como encontrar a solução geral de uma EDO desse tipo.
  2. (b) Usar o método dos coeficientes indeterminados para resolver a EDO concreta
y''-2y'-3y=e^{2t}.
  1. (c) Descrever brevemente o método da variação dos parâmetros e usá‑lo para resolver a mesma EDO do item (b).
Informações relevantes dadas: a equação geral linear de 2ª ordem e, no caso concreto, os coeficientes constantes p(t)=-2, q(t)=-3 e o termo não homogêneo g(t)=e^{2t}. A EDO é não homogênea porque g(t)\neq 0.

Passo 2

Princípio geral (passo a passo) para resolver uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea:
  1. Resolver a equação homogênea associada
y_h''+p(t)y_h'+q(t)y_h=0
para obter duas soluções linearmente independentes y_1(t) e y_2(t). A combinação linear
y_h(t)=C_1 y_1(t)+C_2 y_2(t)
é a solução geral homogênea. Explicação: por linearidade, todo espaço de soluções da homogênea é um espaço vetorial de dimensão 2; y_1,y_2 formam uma base. Para coeficientes constantes costuma‑se usar a equação característica; veremos isso ao aplicar.
2. Encontrar uma solução particular y_p(t) da equação completa (com g(t)). Existem vários métodos para isso; os principais são:
  • Método dos coeficientes indeterminados: supor uma forma para y_p com parâmetros a determinar (funciona quando g(t) é combinação de exponenciais, polinômios, senos/cossenos e produtos simples).
  • Método da variação dos parâmetros: usar a base y_1,y_2 da homogênea e procurar y_p=u_1(t)y_1+u_2(t)y_2 com u_1,u_2 funções a determinar; este método é mais geral (funciona para qualquer g).
  1. A solução geral da equação não homogênea é
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
  1. Observação prática sobre coeficientes indeterminados: se a forma escolhida para y_p coincide com alguma solução de y_h, multiplica‑se a tentativa por t^m onde m é o menor inteiro positivo que elimina a coincidência.
  2. Dica de verificação: sempre substituir y_h+y_p na equação para checar.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto — primeiro a parte homogênea (preparação para ambos os métodos):
A equação homogênea associada é
y''-2y'-3y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-2r-3=0.
Resolver a quadrática:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2}.
Logo r_1=3 e r_2=-1 (raízes reais distintas). Portanto as duas soluções independentes são
y_1(t)=e^{3t},\qquad y_2(t)=e^{-t},
e a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}.

Passo 4

Resolução do item (b) pelo método dos coeficientes indeterminados:
  1. O termo não homogêneo é g(t)=e^{2t}. Para esse tipo de g a tentativa padrão é y_p(t)=A e^{2t}, com A constante indeterminada.
  2. Verificar se e^{2t} é solução da homogênea: as raízes da característica são 3 e -1, não igual a 2. Então não há ressonância e a tentativa A e^{2t} é adequada.
  3. Calcular derivadas:
y_p'=2A e^{2t},\qquad y_p''=4A e^{2t}.
  1. Substituir na equação y''-2y'-3y=e^{2t}:
4A e^{2t}-2(2A e^{2t})-3(A e^{2t}) = e^{2t}.
  1. Simplificar o lado esquerdo (fatorando e^{2t}):
(4A-4A-3A)e^{2t}=(-3A)e^{2t} = e^{2t}.
  1. Comparar coeficientes (dividir por e^{2t}, que não é zero):
-3A=1 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{3}.
  1. Portanto a solução particular é y_p(t)=-\dfrac{1}{3}e^{2t}.
  2. A solução geral da equação completa é a soma y=y_h+y_p. Vou colocar a forma final na seção de respostas.

Passo 5

Descrição do método da variação dos parâmetros (breve e didática) e aplicação — item (c):
  1. Ideia do método: a solução geral homogênea é y_h=C_1 y_1+C_2 y_2\). Em vez de constantes \(C_1,C_2\) tomamos funções \(u_1(t),u_2(t)\) e procuramos uma solução particular da forma \[y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t).
  2. Impomos a condição auxiliar
u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0
para simplificar cálculos (isso elimina derivadas de ordem superior de u_1,u_2 na expressão de y_p'').
3. Com essa condição, a equação original reduz-se a um sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0,\\[4pt] u_1' y_1' + u_2' y_2' = g(t). \end{cases}
  1. Resolvendo por determinantes (usando o wronskiano W(t)=y_1y_2'-y_1'y_2\]) obtém‑se as fórmulas \[u_1'(t)=-\frac{g(t)\,y_2(t)}{W(t)},\qquad u_2'(t)=\frac{g(t)\,y_1(t)}{W(t)}.\] Integram‑se para obter \(u_1,u_2 e então y_p=u_1y_1+u_2y_2. Constantes de integração podem ser colocadas nulas porque gerariam parte da solução homogênea.
  2. Aplicando ao nosso caso:
    • y_1=e^{3t}, y_2=e^{-t}. Calcular o wronskiano:
W=y_1 y_2'-y_1' y_2 = e^{3t}(-e^{-t})-(3e^{3t})e^{-t}=(-1-3)e^{2t}=-4e^{2t}.
  • g(t)=e^{2t}. Assim
u_1'(t)=-\frac{e^{2t}\cdot e^{-t}}{-4e^{2t}}=\frac{1}{4}e^{-t}, \qquad u_2'(t)=\frac{e^{2t}\cdot e^{3t}}{-4e^{2t}}=-\frac{1}{4}e^{3t}.
  • Integrando (escolhendo constantes de integração zero):
u_1(t)=\int \frac{1}{4}e^{-t}\,dt=-\frac{1}{4}e^{-t}, \qquad u_2(t)=\int -\frac{1}{4}e^{3t}\,dt=-\frac{1}{12}e^{3t}.
  • Então
y_p=u_1y_1+u_2y_2 =\Big(-\frac{1}{4}e^{-t}\Big)e^{3t} + \Big(-\frac{1}{12}e^{3t}\Big)e^{-t} = -\frac{1}{4}e^{2t}-\frac{1}{12}e^{2t} = -\frac{1}{3}e^{2t}.
  1. Resultado: o método de variação dos parâmetros dá o mesmo y_p que encontramos antes, confirmando a solução particular.]

Passo 6

Observação final curta (motivacional e prática):
  • Os dois métodos deram a mesma solução particular, como deve ser. O método dos coeficientes indeterminados é mais rápido quando g(t) tem forma adequada; a variação dos parâmetros é mais geral (serve para qualquer g).
  • Você chegou até aqui! Se tiver pouco tempo para a prova, memorize: resolver homogênea (característica), achar particular (coeficientes ind.) e somar. E pratique algumas substituições rápidas para ganhar velocidade.

Resposta

(a) 1) Resolver a homogênea y_h''+p(t)y_h'+q(t)y_h=0 e obter duas soluções independentes y_1,y_2. 2) Encontrar uma solução particular y_p (por coeficientes indeterminados quando g for exponencial/polinomial/seno/cosseno ou por variação dos parâmetros em geral). 3) A solução geral é y=y_h+y_p=C_1y_1+C_2y_2+y_p.
(b) \displaystyle y(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}-\frac{1}{3}e^{2t}.
(c) Método (breve): escrever y_p=u_1(t)y_1+u_2(t)y_2, impor u_1'y_1+u_2'y_2=0 e resolver o sistema para u_1',u_2' com o wronskiano W; integrar e formar y_p. Aplicando ao caso dado obtém‑se \displaystyle y(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}-\frac{1}{3}e^{2t}.

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