Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado.
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que usar a definição de limite para duas variáveis para mostrar que quando
se aproxima de
, a expressão
se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar entender como funciona o limite em funções de duas variáveis e aplicar a definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. No nosso caso, queremos mostrar que
.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso problema, precisamos mostrar que para todo
, existe um
onde, se
, então
. Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja,
para todo
.
Passo 4
Com isso, podemos simplificar a expressão:
. Então, para garantir que
, basta que
. Observando que
, podemos escolher
. Assim, se
, teremos
, como queríamos.
Resposta
Portanto,
.