Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado.
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) cdot sen 1x y=0;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que usar a definição de limite para duas variáveis para mostrar que quando (x, y) se aproxima de (0,0), a expressão (x^2+y^2) cdot sin 1x y se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar entender como funciona o limite em funções de duas variáveis e aplicar a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que lim (x, y) (0,0) f(x, y) = L se, para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que raizx^2 + y^2 < de, então |f(x, y) - L| < epsilon. No nosso caso, queremos mostrar que L = 0.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso problema, precisamos mostrar que para todo epsilon > 0, existe um de 0 onde, se raizx^2 + y^2 < de, então |(x^2+y^2) cdot sin 1x y| < epsilon. Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja, |sin z| <= 1 para todo z.

Passo 4

Com isso, podemos simplificar a expressão: |(x^2+y^2) cdot sin 1x y| <= x^2 + y^2. Então, para garantir que |(x^2+y^2) cdot sin 1x y| < epsilon, basta que x^2 + y^2 < epsilon. Observando que x^2 + y^2 = (raizx^2 + y^2)^2, podemos escolher de. Assim, se raizx^2 + y^2 < de, teremos x^2 + y^2 < epsilon, como queríamos.

Resposta

Portanto, lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) cdot sin 1x y = 0.

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