Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite. A gente tem a função $ f(x, y) = 2x + 3y - 1 $ e queremos provar que o limite dela quando
se aproxima de
é igual a 2. Para isso, vamos usar a definição de limite de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite para duas variáveis. Dizemos que:
significa que, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x, y) = 2x + 3y - 1 $. Queremos mostrar que:
Isso significa que para qualquer
, precisamos encontrar um
tal que se
, então
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
:
Usando a desigualdade triangular, temos:
Agora, sabemos que
implica que
e
. Então:
Queremos que
, então escolhemos
.
Passo 5
Com essa escolha de
, garantimos que sempre que
, teremos:
Isso satisfaz a definição de limite. Portanto, mostramos que o limite é, de fato, 2.