Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado.
lim (x, y) (0,1) 2 x+3 y-1)=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite. A gente tem a função $ f(x, y) = 2x + 3y - 1 $ e queremos provar que o limite dela quando f(x, y) = 2x + 3y - 1 se aproxima de (x, y) é igual a 2. Para isso, vamos usar a definição de limite de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite para duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = L
significa que, para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 < de, então |f(x, y) - L| < varepsilon.
No nosso caso, a = 0, b = 1 e L = 2.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x, y) = 2x + 3y - 1 $. Queremos mostrar que:
f(x, y) = 2x + 3y - 1
Isso significa que para qualquer lim(x, y) to (0, 1) (2x + 3y - 1) = 2 , precisamos encontrar um varepsilon > 0 tal que se de 0, então raizx^2 + (y - 1)^2 < de.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão |2x + 3y - 1 - 2|:
|2x + 3y - 3| = |2x + 3(y - 1)|
Usando a desigualdade triangular, temos:
|2x + 3(y - 1)| <= 2|x| + 3|y - 1|
Agora, sabemos que raizx^2 + (y - 1)^2 < de implica que |x| < de e |y - 1| < de. Então:
2|x| + 3|y - 1| < 2de
Queremos que 5de, então escolhemos de.

Passo 5

Com essa escolha de de, garantimos que sempre que raizx^2 + (y - 1)^2 < de, teremos:
|2x + 3y - 3| < 5de
Isso satisfaz a definição de limite. Portanto, mostramos que o limite é, de fato, 2.

Resposta

lim(x, y) to (0, 1) (2x + 3y - 1) = 2

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