Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado.
lim (x, y) (0,0)(raiz1+x^2+y^2+1)=2;

Passo 1

Então, a gente tem um limite para calcular: lim (x, y) (0,0)(raiz1+x^2+y^2+1) = 2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites em duas variáveis, usando a definição formal de limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição de limite para funções de duas variáveis e trabalhar com desigualdades para mostrar que, respectivamente, a expressão está tão próxima quanto quisermos de 2 quando (x, y) está bem perto de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que lim (x, y) (a,b) f(x,y) = L se, para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que raiz(x-a)^2 + (y-b)^2 < de, então |f(x,y) - L| < epsilon. No nosso caso, a = 0, b = 0 e L = 2.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição. Queremos mostrar que para qualquer epsilon > 0, podemos encontrar um de 0 tal que se raizx^2 + y^2 < de, então |raiz1 + x^2 + y^2 + 1 - 2| < epsilon.

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do módulo:
|raiz1 + x^2 + y^2 + 1 - 2| = |raiz1 + x^2 + y^2 - 1|
Então, precisamos fazer |raiz1 + x^2 + y^2 - 1| < epsilon.

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade |raiz1 + x^2 + y^2 - 1| < epsilon:
raiz1 + x^2 + y^2 - 1 < epsilon Rightarrow raiz1 + x^2 + y^2 < 1 + epsilon
Elevando ambos os lados ao quadrado:
1 + x^2 + y^2 < (1 + epsilon)^2 = 1 + 2epsilon + epsilon^2
Subtraindo 1 de ambos os lados:
x^2 + y^2 < 2epsilon + epsilon^2
Como queremos raizx^2 + y^2 < de, podemos escolher de.

Passo 6

Portanto, para qualquer epsilon > 0, se escolhemos de, sempre que raizx^2 + y^2 < de, teremos:
|raiz1 + x^2 + y^2 - 1| < epsilon
O que confirma que o limite é de fato 2.

Resposta

Então, mostramos que lim (x, y) (0,0)(raiz1+x^2+y^2+1) = 2 usando a definição de limite para funções de duas variáveis.

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