Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado.
lim (x, y) (1,3)(x^2+y^2-2 x-6 y+10)=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
lim(x,y)to(1,3)l(x^2+y^2-2x-6y+10r)=0
Estamos em matéria de limite de função de duas variáveis e vamos precisar da definição varepsilon- de e de reescrever a expressão de forma que apareça a distância do ponto (x,y) a (1,3).

Passo 2

Primeiro a gente reescreve a função de forma mais clara. Note que
x^2-2x+1=(x-1)^2e y^2-6y+9=(y-3)^2,
o que faz surgir o “+1” e o “+9” dentro de x^2+y^2-2x-6y+10. De fato,

Passo 3

x^2+y^2-2x-6y+10 = (x-1)^2 + (y-3)^2 + (10-1-9) = (x-1)^2 + (y-3)^2
Agora defina a distância de (x,y) a (1,3) por
d = raiz(x-1)^2+(y-3)^2

Passo 4

Pela definição de limite de funções de duas variáveis, precisamos mostrar: para todo varepsilon>0 existe de0 tal que se
raiz(x-1)^2+(y-3)^2 < de
então
l|x^2+y^2-2x-6y+10 - 0r| < varepsilon
Mas vimos que a quantidade dentro do módulo é exatamente (x-1)^2+(y-3)^2=d^2.

Passo 5

Como |f(x,y)| = d^2, basta garantir d^2. Logo, se escolhermos
de
então d implica d^2, ou seja, |f(x,y)|. Isso completa a prova pelo critério varepsilon- de.

Resposta

0

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