Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado. .
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
Estamos em matéria de limite de função de duas variáveis e vamos precisar da definição - e de reescrever a expressão de forma que apareça a distância do ponto a .
Passo 2
Primeiro a gente reescreve a função de forma mais clara. Note que
o que faz surgir o “+1” e o “+9” dentro de . De fato,
Passo 3
Agora defina a distância de a por
Passo 4
Pela definição de limite de funções de duas variáveis, precisamos mostrar: para todo existe tal que se
então
Mas vimos que a quantidade dentro do módulo é exatamente (x-1)^2+(y-3)^2=d^2.
Passo 5
Como |f(x,y)| = d^2, basta garantir d^2. Logo, se escolhermos
de
então d implica d^2, ou seja, |f(x,y)|. Isso completa a prova pelo critério varepsilon-de.