Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado.
lim (x, y) (0,0)(y-1)=-1;

Passo 1

Nesse exercício vamos provar que lim(x,y)to(0,0)(y-1) = -1. Esse é um limite de função de duas variáveis e usaremos a definição formal (epsilon-delta) para demonstrar o resultado.

Passo 2

A definição formal de limite para uma função f: R^2to R é:
forall varepsilon>0, exists de0 tal que se 0ã

Passo 3

No nosso caso, definimos f(x,y)=y-1 e o candidato a limite é L=-1. Logo,
|f(x,y)-L| = |(y-1)-(-1)| = |y|

Passo 4

Queremos garantir que |y| sempre que 0. Observando que
|y| <= raizx^2+y^2,
se escolhermos de, então de raizx^2+y^2 segue diretamente |y|.

Passo 5

Portanto, para cada varepsilon>0, basta tomar de. Assim, sempre que 0 temos |f(x,y)-(-1)|=|y|, provando que
lim(x,y)to(0,0)(y-1) = -1

Resposta

-1

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