Sejam
. Mostre que:
, para todo
Passo 1
Resumo do problema: a gente precisa provar que, dados dois naturais com m<n, a desigualdade se mantém quando somamos um mesmo p em ambos, ou seja, mostrar que m+p<n+p para todo p∈ℕ. Vamos usar o conteúdo de indução matemática e a propriedade de que o sucessor (adicionar 1) preserva ordem.
Passo 2
Estratégia de prova: vamos usar indução em p. A ideia é mostrar que vale para um p inicial (caso base) e depois provar que, se vale para p=k, então vale para p=k+1.
Passo 3
Caso base (p=0): como a gente costuma definir adição em ℕ, vale m+0=m e n+0=n. Logo, m<n implica m+0<n+0. Isso estabelece o ponto de partida da indução.
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para um certo k∈ℕ tenhamos m+k<n+k. Precisamos mostrar que m+(k+1)<n+(k+1). Observe que, por definição de adição,
[m+(k+1) = (m+k)+1]
e
e
[n+(k+1) = (n+k)+1].
Como hipótese temos m+k<n+k e sabemos que, em ℕ, sempre que a<b então a+1<b+1. Aplicando isso com a=m+k e b=n+k obtemos
Como hipótese temos m+k<n+k e sabemos que, em ℕ, sempre que a<b então a+1<b+1. Aplicando isso com a=m+k e b=n+k obtemos
[(m+k)+1 < (n+k)+1],
que é justamente m+(k+1)<n+(k+1). Isso fecha a indução.
que é justamente m+(k+1)<n+(k+1). Isso fecha a indução.
Passo 5
Com caso base e passo indutivo completos, concluímos por princípio da indução que m+p<n+p para todo p∈ℕ.
Resposta
Assim, por indução, fica demonstrado que para quaisquer m,n,p∈ℕ com m<n vale a desigualdade m+p<n+p.